Calcule a integral da função f(x)=\operatorname{sen}(x) no intervalo de 0 a \pi. Use o método 3 / 8 de Simpson composto com pelo menos 2 subintervalos e calcule o erro relativo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx
usando o método composto de Simpson 3/8 com número de subintervalos múltiplo de 3, e depois avaliar o erro relativo. O conteúdo necessário é aplicação da regra de Newton–Cotes fechada de ordem 3 (Simpson 3/8).

Passo 2

Para usar o método 3/8 composto, o número de subintervalos n deve ser múltiplo de 3. Logo, o menor valor admissível é n=3. O passo de malha é
h=\frac{\pi-0}{n}=\frac{\pi}{3}.

Passo 3

Definimos os nós
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,2,3,
isto é,
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{3},\quad x_2=\frac{2\pi}{3},\quad x_3=\pi.

Passo 4

Calculamos f(x)=\sin(x) em cada nó:
f(x_0)=0,\quad f(x_1)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad f(x_2)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad f(x_3)=0.

Passo 5

A fórmula composta de Simpson 3/8 é
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].
Substituindo:
\frac{3\frac{\pi}{3}}{8}\bigl[0+3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+0\bigr] =\frac{\pi}{8}\bigl(3\sqrt{3}\bigr) =\frac{3\sqrt{3}\,\pi}{8} \approx 2{,}0405.

Passo 6

O valor exato da integral é
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx =\bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} =-\cos(\pi)+\cos(0)=2.

Passo 7

O erro relativo é
\frac{\bigl|2{,}0405-2\bigr|}{2} \approx0{,}02025 \quad(\approx2{,}025\%).

Resposta

A aproximação pelo método composto de Simpson 3/8 com n=3 subintervalos é
\frac{3\sqrt{3}\,\pi}{8}\approx2{,}0405,
e o erro relativo é aproximadamente 0{,}02025 (ou 2{,}025\%).

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