Dacla f(x, y)=\frac{2 x}{x+\cos 2 y}, calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{2x}{\,x+\cos2y\,}
e pede:
  1. O derivado parcial misto \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}.
  2. O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
    Vamos usar regra do quociente, derivação parcial e análise de limite de função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro achamos \frac{\partial f}{\partial y}. Tratamos x como constante e aplicamos a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{0\cdot(x+\cos2y)-2x\cdot\frac{d}{dy}(x+\cos2y)}{(x+\cos2y)^2} =\frac{-2x\cdot(-2\sin2y)}{(x+\cos2y)^2} =\frac{4x\sin2y}{(x+\cos2y)^2}.

Passo 3

Agora derivamos essa expressão em relação a x:
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{4x\sin2y}{(x+\cos2y)^2}\Bigr).
Use notação N=4x\sin2y e D=(x+\cos2y)^2. Então
N'_x=4\sin2y, \quad D'_x=2(x+\cos2y)\cdot1.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} =\frac{N'_xD - N\,D'_x}{D^2} =\frac{4\sin2y\,(x+\cos2y)^2 - 4x\sin2y\cdot2(x+\cos2y)}{(x+\cos2y)^4}.
Fatorando 4\sin2y\,(x+\cos2y):
\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} =\frac{4\sin2y\,(x+\cos2y)\bigl[(x+\cos2y)-2x\bigr]}{(x+\cos2y)^4} =\frac{4(\cos2y - x)\sin2y}{(x+\cos2y)^3}.

Passo 4

Para o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), fazemos substituição direta:
f(0,0)=\frac{2\cdot0}{0+\cos0}=0.
Como o denominador tende a 1\neq0, f é contínua em torno de (0,0) e o limite vale 0.

Resposta

\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} =\frac{4(\cos2y - x)\sin2y}{(x+\cos2y)^3}
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0

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