Dado z=e^{x}(\cos x+\ln y), x=t^{3}, y=t^{2}, determine \frac{d z}{d t}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = e^{x}\bigl(\cos x + \ln y\bigr)
com as relações
x = t^{3}, \quad y = t^{2},
e pede \dfrac{dz}{dt}. Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos \partial z/\partial x. Como
z = e^{x}(\cos x + \ln y),
aplicando produto e soma de derivadas em x, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x}(\cos x + \ln y) + e^{x}\bigl(-\sin x\bigr) = e^{x}\bigl(\cos x + \ln y - \sin x\bigr).

Passo 3

Agora \partial z/\partial y. A única dependência em y está em \ln y, então
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x}\,\frac{d}{dy}(\ln y) = e^{x}\,\frac{1}{y}.

Passo 4

Derivamos x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = 3t^{2}, \quad \frac{dy}{dt} = 2t.

Passo 5

Substituímos tudo na regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = e^{x}\bigl(\cos x + \ln y - \sin x\bigr)\cdot 3t^{2} + e^{x}\,\frac{1}{y}\cdot 2t.
Por fim, usamos x=t^{3} e y=t^{2}:
\frac{dz}{dt} = 3t^{2}\,e^{t^{3}}\bigl(\cos(t^{3}) + \ln(t^{2}) - \sin(t^{3})\bigr) + 2t\,\frac{e^{t^{3}}}{t^{2}}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = 3t^{2}e^{t^{3}}\bigl(\cos(t^{3}) + \ln(t^{2}) - \sin(t^{3})\bigr) + \frac{2e^{t^{3}}}{t}.

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