Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{lll} 8 & 5 & 6 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 6 & 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 19 \\\\ 6 \\\\ 10 \end{array}\right]
Caso possível, resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} 8 & 5 & 6\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19\\\ 6\\\ 10 \end{pmatrix}
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Vamos selecionar, em cada coluna, o pivô de maior valor absoluto, trocar linhas se necessário e zerar abaixo do pivô até obter uma matriz triangular superior. Depois, fazemos substituição reversa para encontrar (x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 2

Primeiro estágio (coluna 1): comparamos \lvert8\rvert, \lvert2\rvert e \lvert6\rvert. O maior é 8 que já está em a_{11}, então não trocamos linhas. Calculamos os multiplicadores
m_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{2}{8} = \tfrac14, \quad m_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{6}{8} = \tfrac34
e zeramos:
R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 \quad\Longrightarrow\quad (0,\;1{,}75,\;-0{,}50\mid1{,}25),
R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1 \quad\Longrightarrow\quad (0,\;-2{,}75,\;-1{,}50\mid-4{,}25).
Agora a matriz estendida é
\begin{pmatrix} 8 & 5 & 6 &\mid& 19\\\\ 0 & 1{,}75 & -0{,}50 &\mid& 1{,}25\\\\ 0 & -2{,}75 & -1{,}50 &\mid& -4{,}25 \end{pmatrix}.

Passo 3

Segundo estágio (coluna 2 na submatriz 2\times 2): comparamos \lvert1{,}75\rvert e \lvert-2{,}75\rvert. O maior é \lvert-2{,}75\rvert, que está em R_3, então trocamos R_2\leftrightarrow R_3. Ficamos com
\begin{pmatrix} 8 & 5 & 6 &\mid& 19\\\\ 0 & -2{,}75 & -1{,}50 &\mid& -4{,}25\\\\ 0 & 1{,}75 & -0{,}50 &\mid& 1{,}25 \end{pmatrix}.
Agora anulamos a_{32} usando
m_{32} = \frac{a_{32}}{a_{22}} = \frac{1{,}75}{-2{,}75} = -\frac{7}{11}.
Aplicando
R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2 = R_3 + \tfrac{7}{11}R_2
obtém-se
R_3 = \bigl(0,\,0,\,-\tfrac{16}{11}\mid -\tfrac{16}{11}\bigr).
A matriz está triangular superior:
\begin{pmatrix} 8 & 5 & 6 &\mid& 19\\\\ 0 & -2{,}75 & -1{,}50 &\mid& -4{,}25\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{16}{11} &\mid& -\tfrac{16}{11} \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituição reversa:
1. Da terceira linha,
-\tfrac{16}{11}\,x_{3} = -\tfrac{16}{11} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=1.
2. Da segunda linha,
-2{,}75\,x_{2} -1{,}50\cdot1 = -4{,}25 \quad\Longrightarrow\quad -2{,}75\,x_{2} = -2{,}75 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=1.
3. Da primeira linha,
8\,x_{1} +5\cdot1 +6\cdot1 = 19 \quad\Longrightarrow\quad 8\,x_{1} = 8 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}) = (1,\,1,\,1).

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