Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ -4 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 4 \\\\ -3 \end{array}\right]
a) Determine a matriz inversa \mathrm{A}^{-1}, da matriz A dada.
b) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\\\ 1 & 3 & 0\\\\ -4 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e o vetor
b = \begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ -3\end{pmatrix}.
Precisamos (a) encontrar A^{-1} e (b) resolver Ax=b usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 2

Para usar a fórmula de adjunta, calculamos primeiro o determinante de A. Expandindo pela primeira linha:
\det(A) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}3&0\\\ 1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ -4&1\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&3\\\ -4&1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}3&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=3,\quad \det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ -4&1\end{pmatrix}=1,\quad \det\!\begin{pmatrix}1&3\\\ -4&1\end{pmatrix}=1+12=13.
Logo
\det(A) = -1\cdot3 -2\cdot1 +2\cdot13 = -3 -2 +26 =21.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C. Para cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente. Calcula-se
C = \begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & 13\\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}7 & -7\\\\ -6 & \phantom{-}2 & -5 \end{pmatrix}.
A matriz adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T} =\begin{pmatrix} 3 & 0 & -6\\\\ -1 & 7 & 2\\\\ 13 & -7 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Pela fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{21} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -6\\\\ -1 & 7 & 2\\\\ 13 & -7 & -5 \end{pmatrix}.
Simplificando cada entrada:
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{7} & 0 & -\tfrac{2}{7}\\[6pt] -\tfrac{1}{21} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{21}\\[6pt] \tfrac{13}{21} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{21} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para resolver Ax=b por eliminação de Gauss com pivotamento parcial, montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 &\mid& -1\\\ \phantom{-}1 & 3 & 0 &\mid& \phantom{-}4\\\\ -4 & 1 & 1 &\mid& -3 \end{pmatrix}.
Pivotamento na coluna 1: o maior valor em módulo é -4 (linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3.

Passo 6

Após a troca, eliminamos abaixo do pivô -4:
\begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 &\mid& -3\\\ \phantom{-}1 & 3 & 0 &\mid& \phantom{-}4\\\ \phantom{-}1 & 2 & 2 &\mid& -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{L_2\gets L_2+\tfrac14L_1,\;L_3\gets L_3-\tfrac14L_1}\; \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 &\mid& -3\\\\ 0 & \tfrac{13}{4} & \tfrac{1}{4} &\mid& \tfrac{13}{4}\\\\ 0 & \tfrac{7}{4} & \tfrac{7}{4} &\mid& -\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.
Pivotamento na coluna 2: o maior em módulo entre linhas 2 e 3 é \tfrac{13}{4} (já está em linha 2), e eliminamos em L_3:
L_3\gets L_3 - \frac{\tfrac{7}{4}}{\tfrac{13}{4}}\,L_2 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 &\mid& -3\\\\ 0 & \tfrac{13}{4} & \tfrac{1}{4} &\mid& \tfrac{13}{4}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{21}{13} &\mid& -2 \end{pmatrix}.

Passo 7

Agora temos forma triangular superior. Fazemos retro-substituição:
Da terceira linha,
\tfrac{21}{13}\,x_{3} = -2 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -2\cdot\frac{13}{21} = -\tfrac{26}{21}.
Da segunda linha,
\tfrac{13}{4}\,x_{2} + \tfrac{1}{4}\,x_{3} = \tfrac{13}{4} \quad\Longrightarrow\quad 13\,x_{2} + x_{3} = 13 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{13 - x_{3}}{13} = \frac{23}{21}.
Da primeira linha,
-4\,x_{1} + x_{2} + x_{3} = -3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = \frac{3 + x_{2} + x_{3}}{4} = \frac{5}{7}.

Resposta

(a)
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{7} & 0 & -\tfrac{2}{7}\\[6pt] -\tfrac{1}{21} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{21}\\[6pt] \tfrac{13}{21} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{21} \end{pmatrix}.
(b)
x = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{5}{7}\\[3pt]\tfrac{23}{21}\\[3pt]-\tfrac{26}{21}\end{pmatrix}.]

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