Para a tabela abaixo, encontre a função que melhor relaciona q=f(p)+f(d) e analise o coeficiente de determinação r 2. Dica: considere duas funções com uma variável cada uma.
i p p^{2} d d^{2} q p q d q d^{2}
1 -0,2 0,04 1,2 1,44 5,8 -1,16 6,96 33,64
2 0,4 0,16 2,5 6,25 6,1 2,44 15,25 37,21
3 0,1 0,01 3 9 9,6 0,96 28,8 92,16
4 -0,09 0,0081 4,1 16,81 9,7 -0,873 39,77 94,09
5 -0,1 0,01 6,2 38,44 12,1 -1,21 75,02 146,41
6 0 0 7,1 50,41 17,9 0 127,09 320,41
7 5 25 8,8 77,44 18 90 158,4 324
8 -40 1600 9,5 90,25 21,5 -860 204,25 462,25
Soma -34,89 1625,2281 42,4 290,04 100,7 -769,843 655,54 1510,17

Passo 1

O enunciado fornece n=8 observações das variáveis p, d e q, com os somatórios
\sum p=-34,89,\quad \sum p^{2}=1625,2281,\quad \sum d=42,4,\quad \sum d^{2}=290,04,
\sum q=100,7,\quad \sum p\,q=-769,843,\quad \sum d\,q=655,54,\quad \sum q^{2}=1510,17.
Queremos ajustar um modelo aditivo
q \approx f(p) + g(d),
onde cada uma das duas funções é linear em relação à sua variável. Vamos usar mínimos quadrados para obter
f(p)=a_{p}\,p+b_{p},\quad g(d)=a_{d}\,d+b_{d},
e calcular o coeficiente de determinação R^{2} de cada ajuste univariado.

Passo 2

Ajuste de q em função de p. As fórmulas normais dão
a_{p} =\frac{\displaystyle \sum p\,q \;-\;\frac{1}{n}\sum p\;\sum q} {\displaystyle \sum p^{2}\;-\;\frac{1}{n}(\sum p)^{2}}, \quad b_{p} =\frac{1}{n}\Bigl(\sum q - a_{p}\,\sum p\Bigr).
Substituindo:
\sum p\,q - \frac{\sum p\,\sum q}{n} =-769,843-\frac{(-34,89)\,(100,7)}{8} =-330,665,
\sum p^{2}-\frac{(\sum p)^{2}}{n} =1625,2281-\frac{(-34,89)^{2}}{8} =1473,0641.
Logo
a_{p}=\frac{-330,665}{1473,0641}\approx -0,2247, \quad b_{p}=\frac{100,7 -(-0,2247)\,(-34,89)}{8}\approx 11,6076.
O ajuste é
f(p)=-0,2247\,p + 11,6076.

Passo 3

Coeficiente de determinação do ajuste q versus p:
R^{2}_{p} =\frac{\bigl(\sum p\,q - \frac{1}{n}\sum p\,\sum q\bigr)^{2}} {\bigl(\sum p^{2}-\frac{(\sum p)^{2}}{n}\bigr)\, \bigl(\sum q^{2}-\frac{(\sum q)^{2}}{n}\bigr)}.
Calculando
\sum q^{2}-\frac{(\sum q)^{2}}{n} =1510,17-\frac{(100,7)^{2}}{8}=242,6088,
então
R^{2}_{p} =\frac{(-330,665)^{2}}{1473,0641\;\times\;242,6088} \approx 0,306.

Passo 4

Ajuste de q em função de d. Analogamente,
a_{d} =\frac{\sum d\,q - \frac{1}{n}\sum d\,\sum q} {\sum d^{2} - \frac{1}{n}(\sum d)^{2}} =\frac{655,54 - \frac{42,4\,\times 100,7}{8}}{290,04 - \frac{42,4^{2}}{8}} \approx 1,865,
b_{d} =\frac{100,7 - 1,865\,\times 42,4}{8}\approx 2,6958.
Logo
g(d)=1,865\,d + 2,6958.

Passo 5

Coeficiente de determinação do ajuste q versus d:
\sum d^{2}-\frac{(\sum d)^{2}}{n}=65,32,
R^{2}_{d} =\frac{(655,54 - \frac{42,4\cdot100,7}{8})^{2}} {65,32\;\times\;242,6088} \approx 0,937.

Resposta

A melhor função aditiva é
q \approx f(p) + g(d) = \bigl(-0,2247\,p + 11,6076\bigr) + \bigl(1,865\,d + 2,6958\bigr) \;\Longrightarrow\; q \approx -0,2247\,p \;+\;1,865\,d\;+\;14,3034.
Os coeficientes de determinação são
R^{2}_{p}\approx0,306 \quad\text{e}\quad R^{2}_{d}\approx0,937,
ou seja, d explica muito melhor a variabilidade de q do que p.

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