Faça a análise harmónica em [-pi, pi] , até o harmônico de ordem 2 , para a função dada:
f(x)= \begin{cases}0 & \text { se } x<0 \\\ \frac{x}{\pi} & \text { se } x \geq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f em [-\pi,\pi] até o harmônico de ordem 2. Aqui usamos as fórmulas padrão
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f(x)=0 para x<0 e f(x)=x/\pi para x\ge0, em todas as integrais basta integrar de 0 a \pi com f(x)=x/\pi.

Passo 2

Calcular a_0:
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{x}{\pi}\,dx = \frac{1}{\pi^2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{2} = \frac12.

Passo 3

Calcular a_n para n=1,2:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{x}{\pi}\cos(nx)\,dx = \frac{1}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes em \int_0^\pi x\cos(nx)\,dx obtém-se
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{n^2}\bigl[(-1)^n-1\bigr],
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a_n = \frac{(-1)^n-1}{\pi^2\,n^2}.
Em particular
a_1 = \frac{(-1)-1}{\pi^2\cdot1^2} = -\frac{2}{\pi^2}, \qquad a_2 = \frac{1-1}{\pi^2\cdot2^2} = 0.

Passo 4

Calcular b_n para n=1,2:
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{x}{\pi}\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi^2}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Integração por partes em \int_0^\pi x\sin(nx)\,dx
\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi}{n}(-1)^n,
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b_n = -\frac{1}{\pi^2}\,\frac{\pi}{n}(-1)^n = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi\,n}.
Em particular
b_1 = \frac{(-1)^2}{\pi\cdot1} = \frac{1}{\pi}, \qquad b_2 = \frac{(-1)^3}{\pi\cdot2} = -\frac{1}{2\pi}.

Passo 5

A série de Fourier truncada em ordem 2 é
f(x)\approx \frac{a_0}{2} + a_1\cos x + a_2\cos2x + b_1\sin x + b_2\sin2x.
Substituindo os coeficientes:
f(x)\approx \frac14 -\frac{2}{\pi^2}\cos x +0\cdot\cos2x +\frac{1}{\pi}\sin x -\frac{1}{2\pi}\sin2x.

Resposta

f(x)\approx \frac14 -\frac{2}{\pi^2}\cos x +\frac{1}{\pi}\sin x -\frac{1}{2\pi}\sin2x.

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