( 2.0 pontos) Considere o problema de valor inicial
y^{\prime}=1+t \cos (t y), \quad y(0)=1
Use a método de Euler com h=0.1 e o método do ponto médio com h=0.2 para aproximar y(0.2). Compare os resultados.

Passo 1

O problema é a EDO
y' = 1 + t \cos(t\,y),\quad y(0)=1,
e queremos aproximar y(0.2) por dois métodos numéricos: o método de Euler com passo h=0.1 e o método do ponto médio com passo h=0.2.

Passo 2

Aplicando o método de Euler de passo h=0.1. Definimos
f(t,y) = 1 + t\cos(t\,y),\quad t_0=0,\;y_0=1,
e usamos a iteração
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n).
Para n=0 (indo a t_1=0.1):
\begin{aligned} f(0,1)&=1+0\cdot\cos(0)=1,\\\ y_1&=1+0.1\cdot1=1.1. \end{aligned}
Para n=1 (indo a t_2=0.2):
\begin{aligned} f(0.1,1.1)&=1+0.1\cos(0.11)\approx1+0.1\cdot0.99395=1.099395,\\\ y_2&=1.1+0.1\cdot1.099395\approx1.20994. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando o método do ponto médio de passo h=0.2. Usamos o esquema
\begin{aligned} k_1&=f(t_0,y_0),\\\ t_m&=t_0+\tfrac{h}{2},\quad y_m=y_0+\tfrac{h}{2}\,k_1,\\\ k_2&=f(t_m,y_m),\\\ y_1&=y_0+h\,k_2. \end{aligned}
Calculando:
\begin{aligned} k_1&=1+0\cdot\cos(0)=1,\\\ t_m&=0.1,\quad y_m=1+0.1\cdot1=1.1,\\\ k_2&=1+0.1\cos(0.11)\approx1.099395,\\\ y_1&=1+0.2\cdot1.099395\approx1.21988. \end{aligned}

Passo 4

Comparando as aproximações:
\text{Euler: }y(0.2)\approx1.20994,\qquad \text{Ponto médio: }y(0.2)\approx1.21988.é
Vemos que o método do ponto médio dá um valor ligeiramente maior e, em geral, tende a ser mais preciso que o de Euler para o mesmo intervalo.

Resposta

Euler com h=0.1: y(0.2)\approx1.20994
Método do ponto médio com h=0.2: y(0.2)\approx1.21988

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