Calcule a integral.
integral0^pi2 integral0^sen(y) x cos (y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral dupla
integral0^pi2 integral0^sin(y) x ,cos(y);dx,dy
Isso cai em “integrais duplas” ou “integrais iteradas”: a ideia é primeiro integrar em (do 0 até ) e depois integrar o resultado em (de 0 até ).
O que precisamos saber:
  • A regra de Fubini, que diz que podemos fazer a integral dupla como duas integrais simples em sequência.
  • Que, na integral em , é constante (porque a variável de integração é ).
  • Como aplicar a substituição simples (u-substitution) na hora de integrar em .

Passo 2

Vamos começar integrando em integral0^sin(y) x ,cos(y);dx :
integral x,cos(y),dx = cos(y),integral x,dx = cos(y),x^22
Aqui cos(y),(sin(y))^22 ;-; cos(y),0^22 ;=;cos(y),sin^2(y)2 é só uma constante (já que integral0^pi2 sin^2(y),cos(y)2;dy fica fixo nessa etapa). Então
Agora avaliamos de até :
Então a integral dupla vira agora

Passo 3

Chegou a hora de integrar em integral0^pi2 sin^2(y),cos(y)2;dy :
u = sin(y)Longrightarrow du = cos(y),dy
Aqui é perfeito pra usar substituição. Seja
12 integral0^1 u^2 ;du
Quando 12 cdot [u^33]0^1 = 12 cdot 1^3 - 0^33 = 12 cdot 13 = 16 , .
Quando , .
A integral fica
Sabendo que , temos

Resposta

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