Calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral dupla
Isso cai em “integrais duplas” ou “integrais iteradas”: a ideia é primeiro integrar em
(do 0 até
) e depois integrar o resultado em
(de 0 até
).
O que precisamos saber:
O que precisamos saber:
- A regra de Fubini, que diz que podemos fazer a integral dupla como duas integrais simples em sequência.
- Que, na integral em
, é constante (porque a variável de integração é ). - Como aplicar a substituição simples (u-substitution) na hora de integrar em
.
Passo 2
Vamos começar integrando em
:
Aqui
é só uma constante (já que
fica fixo nessa etapa). Então
Agora avaliamos de
até
:
Então a integral dupla vira agora
Passo 3
Chegou a hora de integrar em
:
Aqui é perfeito pra usar substituição. Seja
Quando
,
.
Quando ,
.
A integral fica
Quando
A integral fica
Sabendo que
, temos