Calcule a soma
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular a soma
onde
é a unidade imaginária (ou seja,
).
Conteúdo: números complexos e reconhecimento de padrões (período das potências de ).
Vamos precisar saber como as potências de se comportam pra somar tudo de forma simples.
Conteúdo: números complexos e reconhecimento de padrões (período das potências de
Vamos precisar saber como as potências de
Passo 2
Antes de cair de cabeça na soma, vamos ver o padrão das potências de
:
Aí, pra
, você multiplica
por
, então volta a dar
. Ou seja, o ciclo se repete a cada 4 expoentes:
Passo 3
Como o ciclo é de comprimento 4, toda sequência de quatro termos seguidos soma zero:
Se empacotarmos os primeiros
termos (que é
) em grupos de 4, cada grupo dá zero. Logo,
Passo 4
Ficam só os dois últimos termos:
e
.
Como ,
Como
E
,
Então a soma dos dois finais é