Calcule a soma i+i^2+cdots+i^2018.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a soma
i + i^2 + i^3 + cdots + i^2018,
onde é a unidade imaginária (ou seja, ).
Conteúdo: números complexos e reconhecimento de padrões (período das potências de ).
Vamos precisar saber como as potências de se comportam pra somar tudo de forma simples.

Passo 2

Antes de cair de cabeça na soma, vamos ver o padrão das potências de i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 :
i^5 = i,;i^6 = -1,;i^7 = -i,;i^8 = 1,;dots
Aí, pra , você multiplica por , então volta a dar . Ou seja, o ciclo se repete a cada 4 expoentes:

Passo 3

Como o ciclo é de comprimento 4, toda sequência de quatro termos seguidos soma zero:
i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0
Se empacotarmos os primeiros sumk=1^2016 i^k = 504 times 0 = 0 termos (que é ) em grupos de 4, cada grupo dá zero. Logo,

Passo 4

Ficam só os dois últimos termos: i^2017 = i^4cdot504 +1 = (i^4)^504,i^1 = 1^504,i = i e i^2018 = i^4cdot504 +2 = (i^4)^504,i^2 = 1^504,(-1) = -1 .
Como i^2017 + i^2018 = i + (-1) = i - 1 ,
E ,
Então a soma dos dois finais é

Resposta

boxedi - 1

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