Calcule a integral.
integral0^4(4-t) raizt d t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral definida
integral0^4 (4 - t),raizt,dt
Isso é parte de Cálculo, mais especificamente integrais definidas.
O que vamos usar:
  • Linearidade da integral (posso separar soma e constante pra fora),
  • Regra da potência: ,
  • Avaliação de limites (Fundamental do Cálculo).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando usando álgebra:
(4 - t),raizt = 4,t^1/2 - tcdot t^1/2 = 4,t^1/2 - t^3/2
Então
integral0^4(4 - t),raizt,dt = integral0^44,t^1/2,dt ;-;integral0^4t^3/2,dt

Passo 3

Vamos à primeira integral:
integral0^44,t^1/2,dt = 4integral0^4t^1/2,dt = 4cdott^(1/2)+1tfrac32g|0^4 = 4cdott^3/2tfrac32g|0^4 = 4cdot23,t^3/2g|0^4 = 83,t^3/2|0^4
Agora avalia em 83,(4)^3/2 - 83,(0)^3/2 = 83cdot 8 - 0 = 643 e :

Passo 4

Agora a segunda integral:
integral0^4t^3/2,dt = t^(3/2)+1tfrac52g|0^4 = t^5/2tfrac52g|0^4 = 25,t^5/2|0^4
Avalia em 25,(4)^5/2 - 25,(0)^5/2 = 25cdot 32 - 0 = 645 e :

Passo 5

Juntando tudo:
integral0^4(4 - t),raizt,dt = 643 ;-; 645 = 64l(13-15r) = 64cdot5-315 = 64cdot215 = 12815

Resposta

boxed12815

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