Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente calcular a integral
Isso é cálculo de integrais (técnica: integração de soma de potências).
Para resolver, a gente vai precisar de:
Para resolver, a gente vai precisar de:
- Expandir o polinômio
. - Reescrever cada termo em forma de
. - Usar a regra básica
(ou se ). - Avaliar de 1 a 3 (teorema fundamental do cálculo).
Passo 2
Primeiro, expande o quadrado:
Passo 3
Agora divide cada termo por
:
Passo 4
Transforma isso em integrais separadas:
[
\int_{1}^{3} \frac{(3x+1)2}{x3},dx
\int_{1}^{3} \bigl(9x^{-1} +6x^{-2} +x^{-3}\bigr),dx
9\int_{1}{3}x{-1}dx
+6\int_{1}{3}x{-2}dx
+\int_{1}{3}x{-3}dx.
]
+6\int_{1}{3}x{-2}dx
+\int_{1}{3}x{-3}dx.
]
Passo 5
Integra termo a termo:
-
. -
-
Então a primitiva geral é
[
9\ln x ;+; 6\bigl(-x^{-1}\bigr) ;+; \Bigl(-\tfrac12,x^{-2}\Bigr)
9\ln x ;-; \frac{6}{x} ;-; \frac{1}{2x^2}.
]
]
Passo 6
Agora aplica os limites de 1 a 3:
[
\Bigl[,9\ln x - \tfrac{6}{x} - \tfrac{1}{2x2}\Bigr]_{1}{3}
\Bigl(9\ln3 - \tfrac{6}{3} - \tfrac{1}{2\cdot 3^2}\Bigr)
\Bigl(9\ln1 - \tfrac{6}{1} - \tfrac{1}{2\cdot1^2}\Bigr).
]
]
Calculando cada parte:
- Em
: - Em
:
Subtraindo:
[
\bigl(9\ln3 - 2 - \tfrac{1}{18}\bigr) - (-6.5)
9\ln3 + 4.5 - \tfrac{1}{18}
9\ln3 + \frac{81}{18} - \frac{1}{18}
9\ln3 + \frac{80}{18}
9\ln3 + \frac{40}{9}.
]
]