Calcule a integral.
integral1^3 (3 x+1)^2x^3 d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular a integral
integral1^3 (3x+1)^2x^3 ,dx
Isso é cálculo de integrais (técnica: integração de soma de potências).
Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Expandir o polinômio .
  2. Reescrever cada termo em forma de .
  3. Usar a regra básica (ou se ).
  4. Avaliar de 1 a 3 (teorema fundamental do cálculo).

Passo 2

Primeiro, expande o quadrado:
(3x+1)^2 ;=; 9x^2 + 2cdot3xcdot1 +1^2 ;=; 9x^2 +6x +1

Passo 3

Agora divide cada termo por 9x^2 +6x +1x^3 ;=; 9,x^2-3 ;+; 6,x^1-3 ;+; 1cdot x^0-3 ;=; 9x^-1 +6x^-2 +x^-3 :

Passo 4

Transforma isso em integrais separadas:
[
\int_{1}^{3} \frac{(3x+1)2}{x3},dx

\int_{1}^{3} \bigl(9x^{-1} +6x^{-2} +x^{-3}\bigr),dx

9\int_{1}{3}x{-1}dx
+6\int_{1}{3}x{-2}dx
+\int_{1}{3}x{-3}dx.
]

Passo 5

Integra termo a termo:
  1. 9ln x ;+; 6l(-x^-1r) ;+; l(-tfrac12,x^-2r) = 9ln x ;-; 6x ;-; 12x^2 .

Então a primitiva geral é
[
9\ln x ;+; 6\bigl(-x^{-1}\bigr) ;+; \Bigl(-\tfrac12,x^{-2}\Bigr)

9\ln x ;-; \frac{6}{x} ;-; \frac{1}{2x^2}.
]

Passo 6

Agora aplica os limites de 1 a 3:
[
\Bigl[,9\ln x - \tfrac{6}{x} - \tfrac{1}{2x2}\Bigr]_{1}{3}

\Bigl(9\ln3 - \tfrac{6}{3} - \tfrac{1}{2\cdot 3^2}\Bigr)

\Bigl(9\ln1 - \tfrac{6}{1} - \tfrac{1}{2\cdot1^2}\Bigr).
]
Calculando cada parte:
  • Em l[,9ln x - tfrac6x - tfrac12x^2r]1^3 = l(9ln3 - tfrac63 - tfrac12cdot 3^2r) - l(9ln1 - tfrac61 - tfrac12cdot1^2r) : l(9ln3 - 2 - tfrac118r) - (-6.5) = 9ln3 + 4.5 - tfrac118 = 9ln3 + 8118 - 118 = 9ln3 + 8018 = 9ln3 + 409
  • Em :

Subtraindo:
[
\bigl(9\ln3 - 2 - \tfrac{1}{18}\bigr) - (-6.5)

9\ln3 + 4.5 - \tfrac{1}{18}

9\ln3 + \frac{81}{18} - \frac{1}{18}

9\ln3 + \frac{80}{18}

9\ln3 + \frac{40}{9}.
]

Resposta

boxed,integral1^3 (3x+1)^2x^3,dx =9ln 3 + 409,

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