Calcule a integral, interpretando-a em termos de áreas.
integral-4^4(2 x-raiz16-x^2) d x

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral
integral-4^4l(2x - raiz16 - x^2r),dx
Isso faz parte de “Integrais Definidas” e “Interpretação Geométrica em termos de área”.
O que vamos precisar:
  1. Entender que uma integral definida é a área “assinada” sob a curva.
  2. Saber que .
  3. Reconhecer que é a área de meio círculo de raio 4, que vale .
A partir de agora, bora resolver de verdade!

Passo 2

Primeiro, dividimos a integral em duas partes:
integral-4^42x,dx ;-;integral-4^4raiz16 - x^2,dx

Passo 3

Calcular integral-4^42x,dx = l[x^2r]-4^4 = (4)^2 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0 .
  • A antiderivada de é .
  • Então
Isso faz sentido: a função é ímpar, então a área de cancela com a de .

Passo 4

Agora, integral-4^4raiz16 - x^2,dx = 12cdot 16pi = 8pi .
  • A curva é a parte de cima de um círculo de raio 4.
  • A área total do círculo é , mas estamos só com a “meia-bola” acima do eixo .
  • Logo

Passo 5

Juntando tudo:
integral-4^4l(2x - raiz16 - x^2r),dx = underbrace0integral2x ;-;underbrace8piintegralraiz16-x^2 = -8pi

Resposta

boxed-8pi

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