Calcule a inversa de A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right) Passo 1O enunciado pede a inversa da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}. O conteúdo envolvido é “inversa de matriz” e vamos usar o método da adjunta: primeiro calculamos \det(A), depois a matriz de cofatores, em seguida a adjunta (transposta dos cofatores) e finalmente dividimos pela determinante. Passo 2Calcular \det(A) pela expansão na primeira linha: \det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 2\end{pmatrix} \det(A) =1\,(1\cdot1-1\cdot2)-1\,(2\cdot1-1\cdot3)+1\,(2\cdot2-1\cdot3) =-1-(-1)+1=1. Passo 3Agora montamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(A\text{ sem linha }i\text{ e coluna }j). Calculando todos de uma vez, chega-se a C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. Passo 4A adjunta de A é a transposta de C: \operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}. Passo 5Como \det(A)=1, a inversa é simplesmente A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A). Resposta A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEscreva a matriz A na forma L U. A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 10 \end{array}\right) Escreva a matriz A na forma L U. A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \ 2 & 3 & -2 \ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) Resolva o sistema linear: \left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right. por Gauss-Jacobi, com x^{(0)}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=0,05 Resolva pelo método de Gauss-Seidel o seguinte sistema linear: \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}=1 \\\ x_{1}+2 x_{2}=3 \end{array},\right. \operatorname{com} x^{(0)}=\binom{0}{0} e \varepsilon=0,05.