Calcule a inversa de A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é “inversa de matriz” e vamos usar o método da adjunta: primeiro calculamos \det(A), depois a matriz de cofatores, em seguida a adjunta (transposta dos cofatores) e finalmente dividimos pela determinante.

Passo 2

Calcular \det(A) pela expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 2\end{pmatrix}
\det(A) =1\,(1\cdot1-1\cdot2)-1\,(2\cdot1-1\cdot3)+1\,(2\cdot2-1\cdot3) =-1-(-1)+1=1.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(A\text{ sem linha }i\text{ e coluna }j).
Calculando todos de uma vez, chega-se a
C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como \det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A).

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

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