Escreva a matriz A na forma L U.
A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 10 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 2 & 5 & 8\\\\ 3 & 6 & 10 \end{pmatrix}
na fatoração A = LU sem pivotamento. Ou seja, queremos encontrar uma matriz unitriangular inferior L e uma matriz triangular superior U tais que A=LU. Vamos usar eliminação de Gauss registrando os multiplicadores em L.

Passo 2

Eliminamos os elementos abaixo de a_{11}=1.
O multiplicador para zerar a_{21}=2 é
m_{21} = \frac{2}{1} = 2,
e para zerar a_{31}=3 é
m_{31} = \frac{3}{1} = 3.
Aplicando as operações
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\,\text{linha}_1 e
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{31}\,\text{linha}_1,
obtemos a matriz intermediária
U^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 0 & 5-2\cdot4 & 8-2\cdot7\\\\ 0 & 6-3\cdot4 & 10-3\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 0 & -3 & -6\\\\ 0 & -6 & -11 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos o elemento abaixo de U^{(1)}_{22}=-3, ou seja U^{(1)}_{32}=-6. O multiplicador é
m_{32} = \frac{-6}{-3} = 2.
Fazendo
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - m_{32}\,\text{linha}_2,
obtemos
U = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 0 & -3 & -6\\\\ 0 & 0 & -11 - 2\cdot(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 0 & -3 & -6\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Os multiplicadores que usamos formam a parte subdiagonal de L, com uns na diagonal principal. Assim
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 0 & -3 & -6\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

L = \displaystyle\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},
U = \displaystyle\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 0 & -3 & -6\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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