Escreva a matriz A na forma L U. A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \ 2 & 3 & -2 \ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) Passo 1O enunciado pede para escrever a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & 3 & -2\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} na forma A = LU, onde L é triangular inferior com diagonal igual a 1 e U é triangular superior. Vamos usar o método de Doolittle, que não requer pivotamento se a_{11}\neq0. Passo 2Primeiro definimos U_{11}=a_{11}=1,\quad U_{12}=a_{12}=2,\quad U_{13}=a_{13}=-1, e obtemos os multiplicadores para zerar abaixo de a_{11}: L_{21}=\frac{a_{21}}{U_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad L_{31}=\frac{a_{31}}{U_{11}}=\frac{1}{1}=1. Passo 3Atualizamos a submatriz 2\times2 remanescente: a'_{22}=a_{22}-L_{21}U_{12}=3-2\cdot2=-1,\quad a'_{23}=a_{23}-L_{21}U_{13}=-2-2\cdot(-1)=0, a'_{32}=a_{32}-L_{31}U_{12}=-2-1\cdot2=-4,\quad a'_{33}=a_{33}-L_{31}U_{13}=1-1\cdot(-1)=2. Dessa forma, U_{22}=a'_{22}=-1,\quad U_{23}=a'_{23}=0, e o próximo multiplicador é L_{32}=\frac{a'_{32}}{U_{22}}=\frac{-4}{-1}=4. Passo 4Finalmente, calculamos U_{33}=a'_{33}-L_{32}U_{23}=2-4\cdot0=2. Passo 5Agora montamos L e U: L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Resposta L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva o sistema linear abaixo usando eliminação gaussiana \left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3 \end{array}\right. Seja o sistema linear A x=b, onde A_{n \times n} é triangular inferior com elementos na diagonal diferentes de zero. Este sistema é da forma \begin{cases}a_{11} x_{1} & =b_{1} \\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2} & =b_{2} \\\ \vdots & \\\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n} & =b_{n}\end{cases} Considere o caso particular \begin{cases}x_{1} & =2 \\\ x_{1}+2 x_{2} & =3 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =2\end{cases} Para resolvê-lo usamos substituição direta \begin{aligned} & x_{1}=2 \\\ & x_{2}=\frac{3-x_{1}}{2}=\frac{1}{2} \\\ & x_{3}=2+x_{2}-2 x_{1} \Rightarrow x_{3}=-\frac{3}{2} \end{aligned} Na forma matricial \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right) . Escreva a matriz A na forma L U. A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \ 2 & 5 & 8 \ 3 & 6 & 10 \end{array}\right) Calcule a inversa de A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)