Escreva a matriz A na forma L U.
A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \ 2 & 3 & -2 \ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & 3 & -2\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
na forma A = LU, onde L é triangular inferior com diagonal igual a 1 e U é triangular superior. Vamos usar o método de Doolittle, que não requer pivotamento se a_{11}\neq0.

Passo 2

Primeiro definimos
U_{11}=a_{11}=1,\quad U_{12}=a_{12}=2,\quad U_{13}=a_{13}=-1,
e obtemos os multiplicadores para zerar abaixo de a_{11}:
L_{21}=\frac{a_{21}}{U_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad L_{31}=\frac{a_{31}}{U_{11}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 3

Atualizamos a submatriz 2\times2 remanescente:
a'_{22}=a_{22}-L_{21}U_{12}=3-2\cdot2=-1,\quad a'_{23}=a_{23}-L_{21}U_{13}=-2-2\cdot(-1)=0,
a'_{32}=a_{32}-L_{31}U_{12}=-2-1\cdot2=-4,\quad a'_{33}=a_{33}-L_{31}U_{13}=1-1\cdot(-1)=2.
Dessa forma,
U_{22}=a'_{22}=-1,\quad U_{23}=a'_{23}=0,
e o próximo multiplicador é
L_{32}=\frac{a'_{32}}{U_{22}}=\frac{-4}{-1}=4.

Passo 4

Finalmente, calculamos
U_{33}=a'_{33}-L_{32}U_{23}=2-4\cdot0=2.

Passo 5

Agora montamos L e U:
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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