Calcule
lim x +infty[raizx+raizx-raizx-raizx]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o seguinte limite quando raizx+raizx;-;raizx-raizx vai lá em cima, tipo :
Isso é um exercício de Cálculo sobre limites de funções que geram uma indeterminação do tipo “ ”.
O que a gente vai usar aqui:
  1. Propriedade de limites (somar, dividir, etc.).
  2. Reconhecer a indeterminação “ ”.
  3. Técnica de racionalização de expressão com raízes (multiplicar pelo conjugado).

Passo 2

Primeiro, rastreamos o comportamento de cada parte quando :

  • Logo estamos com um “ ”, que é uma indeterminação. Não dá pra subtrair diretamente, temos que reescrever de um jeito que permita simplificar.

Passo 3

A técnica mais clássica é multiplicar pela expressão conjugada:
raizx+raizx-raizx-raizx ;times; raizx+raizx+raizx-raizx raizx+raizx+raizx-raizx
Isso não muda o valor (é multiplicar por 1), mas o numerador vira uma diferença de quadrados:
l(raizx+raizxr)^2-l(raizx-raizxr)^2 = (x+raizx) - (x-raizx) = 2raizx
Então a expressão toda fica
2raizx raizx+raizx+raizx-raizx

Passo 4

Agora a gente simplifica mais e prepara pra passar ao limite. No denominador, fatoramos raizx+raizx = raizx,raiz1+tfrac1raizx, raizx-raizx = raizx,raiz1-tfrac1raizx dentro de cada raiz:
raizx+raizx+raizx-raizx = raizxl(raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac1raizxr)
Então
2raizx raizxl(raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac1raizxr) = 2raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac1raizx
Substituindo na fração:

Passo 5

Finalmente, aplicamos o limite raiz1+tfrac1raizxtoraiz1+0=1, raiz1-tfrac1raizxtoraiz1-0=1 . Como 22 = 1 , temos
Então o denominador vira e a fração inteira vira

Resposta

boxed1

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