Calcule os limitantes e a quantidade de raízes reais existentes das equações polinomiais: seguintes. Utilize o tabelamento da função de f(x) para analisar as variações de sinal e isolar as raízes dessas equações.
f(x)=-x^{5}+2 x^{4}+4 x^{3}-x^{2}+x+1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar bons limitantes para as raízes reais de
f(x) = -x^{5} + 2x^{4} + 4x^{3} - x^{2} + x + 1 = 0,
contar quantas raízes reais existem e, por tabelamento da função, isolar cada uma. Vamos usar o Teorema de Cauchy para limitantes, a Regra de Sinais de Descartes para estimar quantas raízes positivas e negativas há, e depois avaliar f(x) em vários pontos para observar mudanças de sinal.

Passo 2

Pelo Teorema de Cauchy, todo zero real x de f satisfaz
|x| \le 1 + \max_{i\neq5}\Bigl|\frac{a_i}{a_5}\Bigr| = 1 + \max(2,4,1,1,1) = 1 + 4 = 5.
Logo todos os zeros reais estão no intervalo [-5,5].

Passo 3

Aplicando Descartes:
  • Para f(x), os coeficientes são -,+,+,-,+,+, havendo 3 mudanças de sinal, logo até 3 raízes positivas (outras reduções de 2 em 2).
  • Para f(-x) temos
f(-x)=x^5+2x^4-4x^3 - x^2 - x + 1
com padrão +,+,-,-,-,+, dando 2 mudanças de sinal, logo até 2 raízes negativas (outras reduções de 2 em 2).

Passo 4

Agora tabelamos f(x) em inteiros de -5 a 5 para achar mudanças de sinal:
f(-5)=3846>0,\quad f(-4)=1261>0,\quad f(-3)=286>0,\quad f(-2)=27>0
f(-1)=-2<0,\quad f(0)=1>0,\quad f(1)=6>0,\quad f(2)=31>0,\quad f(3)=22>0
f(4)=-267<0,\quad f(5)=-1394<0
Observamos mudanças de sinal em
  • entre -2 e -1: f(-2)>0 e f(-1)<0,
  • entre -1 e 0: f(-1)<0 e f(0)>0,
  • entre 3 e 4: f(3)>0 e f(4)<0.
Não há outras trocas de sinal em [-5,5].

Resposta

Os zeros reais de f(x) estão todos em [-5,5]. Existem exatamente 3 raízes reais, isoladas em
(-2,-1),\quad(-1,0),\quad(3,4).

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