Dada a EDO (PVI):
y^{\prime}=y-x^{2}+1, \quad y(0)=0,5
Aproxime a solução no intervalo [0 ; 0,3] com passo h=0,1, utilizando o método de Runge-Kutta de 3^{\mathbf{a}} ordem. Apresente o processo iterativo até o último ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = y - x^2 + 1,\quad y(0)=0,5
e pede a aproximação da solução em [0,0,3] com passo h=0,1 usando o método de Runge–Kutta de 3ª ordem. Vamos aplicar a fórmula clássica de RK3 para avançar de x_n a x_{n+1}=x_n+h.

Passo 2

A fórmula do método de Runge–Kutta de 3ª ordem (Kutta) é:
k_1 = f(x_n,y_n), \quad k_2 = f\!\bigl(x_n + \tfrac{h}{2},\,y_n + \tfrac{h}{2}k_1\bigr), \quad k_3 = f\!\bigl(x_n + h,\,y_n - h\,k_1 + 2h\,k_2\bigr),
y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{6}\bigl(k_1 + 4\,k_2 + k_3\bigr).
Aqui f(x,y)=y - x^2 +1.

Passo 3

Para n=0: x_0=0, y_0=0,5.
k_1 = f(0,0.5) = 0.5 - 0^2 + 1 = 1.5,
k_2 = f\bigl(0.05,\;0.5 + 0.05\cdot1.5\bigr) = f(0.05,0.575) = 0.575 - 0.05^2 +1 = 1.5725,
k_3 = f\bigl(0.1,\;0.5 -0.1\cdot1.5 +2\cdot0.1\cdot1.5725\bigr) = f(0.1,0.6645) = 0.6645 - 0.1^2 +1 = 1.6545,
y_1 = 0.5 + \frac{0.1}{6}(1.5 + 4\cdot1.5725 +1.6545) \approx 0.5 + 0.1574083 = 0.6574083.

Passo 4

Para n=1: x_1=0.1, y_1\approx0.6574083.
k_1 = f(0.1,0.6574083) = 0.6574083 - 0.01 +1 = 1.6474083,
k_2 = f\bigl(0.15,\;0.6574083 + 0.05\cdot1.6474083\bigr) = f(0.15,0.7397784) = 0.7397784 - 0.0225 +1 = 1.7172784,
k_3 = f\bigl(0.2,\;0.6574083 -0.1\cdot1.6474083 +2\cdot0.1\cdot1.7172784\bigr) = f(0.2,0.8361229) = 0.8361229 - 0.04 +1 = 1.7961229,
y_2 = 0.6574083 + \frac{0.1}{6}(1.6474083 + 4\cdot1.7172784 +1.7961229) \approx 0.6574083 + 0.1718774 = 0.8292857.

Passo 5

Para n=2: x_2=0.2, y_2\approx0.8292857.
k_1 = f(0.2,0.8292857) = 0.8292857 - 0.04 +1 = 1.7892857,
k_2 = f\bigl(0.25,\;0.8292857 + 0.05\cdot1.7892857\bigr) = f(0.25,0.9187490) = 0.9187490 - 0.0625 +1 = 1.8562490,
k_3 = f\bigl(0.3,\;0.8292857 -0.1\cdot1.7892857 +2\cdot0.1\cdot1.8562490\bigr) = f(0.3,1.0216063) = 1.0216063 - 0.09 +1 = 1.9316063,
y_3 = 0.8292857 + \frac{0.1}{6}(1.7892857 + 4\cdot1.8562490 +1.9316063) \approx 0.8292857 + 0.1857648 = 1.0150505.

Resposta

x_0=0,\;y_0=0,5 x_1=0,1,\;y_1\approx0,6574083 x_2=0,2,\;y_2\approx0,8292857 x_3=0,3,\;y_3\approx1,0150505

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