Resolva numericamente:
y^{\prime}=x y+x^{3}, \quad y(0)=1
utilizando o método de Runge-Kutta de 4^{\mathbf{a}} ordem (RK4) com h=0,2, até x=0,4. Monte a tabela dos valores k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} e de y(x) aproximado.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução de
y' = x\,y + x^3,\quad y(0)=1
no intervalo de x=0 até x=0,4 usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) com passo h=0,2. Vamos usar a função
f(x,y) = x\,y + x^3
e computar, em cada nó x_n, os coeficientes
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n),\\\ k_2 &= f\Bigl(x_n + \tfrac{h}{2},\,y_n + \tfrac{h}{2}k_1\Bigr),\\\ k_3 &= f\Bigl(x_n + \tfrac{h}{2},\,y_n + \tfrac{h}{2}k_2\Bigr),\\\ k_4 &= f\bigl(x_n + h,\,y_n + h\,k_3\bigr), \end{aligned}
e então
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\bigl(k_1 + 2\,k_2 + 2\,k_3 + k_4\bigr).

Passo 2

Primeiro passo n=0, x_0=0, y_0=1:
  • k_1 = f(0,1) = 0\cdot1 + 0^3 = 0.
  • k_2 = f\bigl(0{+}0,1 + 0{,}1\cdot0\bigr) = f(0{,}1,1) = 0{,}1\cdot1 + (0{,}1)^3 = 0{,}1 + 0{,}001 = 0{,}101.
  • k_3 = f\bigl(0{,}1,\,1 + 0{,}1\cdot0{,}101\bigr) = f(0{,}1,1{,}0101) = 0{,}1\cdot1{,}0101 + 0{,}001 = 0{,}10201.
  • k_4 = f\bigl(0{+}0,2,\,1 + 0{,}2\cdot0{,}10201\bigr) = f(0{,}2,1{,}020402) = 0{,}2\cdot1{,}020402 + 0{,}008 = 0{,}2120804.
    Agora
y_1 = 1 + \frac{0{,}2}{6}\bigl(0 + 2\cdot0{,}101 + 2\cdot0{,}10201 + 0{,}2120804\bigr) \approx 1 + 0{,}0333333\times0{,}6181004 \approx 1{,}0206033.

Passo 3

Segundo passo n=1, x_1=0,2, y_1\approx1,0206033:
  • k_1 = f(0{,}2,1{,}0206033) = 0{,}2\cdot1{,}0206033 + 0{,}008 = 0{,}2121207.
  • k_2 = f\bigl(0{,}3,\,1{,}0206033 + 0{,}1\cdot0{,}2121207\bigr) = f(0{,}3,1{,}0418154) = 0{,}3\cdot1{,}0418154 + 0{,}027 = 0{,}3395446.
  • k_3 = f\bigl(0{,}3,\,1{,}0206033 + 0{,}1\cdot0{,}3395446\bigr) = f(0{,}3,1{,}0545578) = 0{,}3\cdot1{,}0545578 + 0{,}027 = 0{,}3433673.
  • k_4 = f\bigl(0{,}4,\,1{,}0206033 + 0{,}2\cdot0{,}3433673\bigr) = f(0{,}4,1{,}0892768) = 0{,}4\cdot1{,}0892768 + 0{,}064 = 0{,}4997107.
    Logo
y_2 = 1{,}0206033 + \frac{0{,}2}{6}\bigl(0{,}2121207 + 2\cdot0{,}3395446 + 2\cdot0{,}3433673 + 0{,}4997107\bigr) \approx 1{,}0898585.

Resposta

Segue a tabela dos coeficientes e dos valores aproximados:
x_n =0,0 y_n =1,000000 k_{1} =0,000000 k_{2} =0,101000 k_{3} =0,102010 k_{4} =0,212080 y_{n+1} \approx 1,020603 x_n =0,2 y_n \approx 1,020603 k_{1} \approx 0,212121 k_{2} \approx 0,339545 k_{3} \approx 0,343367 k_{4} \approx 0,499711 y_{n+1} \approx 1,089859

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