Calcule os limitantes e a quantidade de raizes reais existentes das equações polinomiais a seguir. Utilize o tabelamento da função de
para analisar as variações de sinal e isolar as raizes (encontrar os intervalos correspondentes) dessas equações.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os limitantes (cotas) das raízes de
além de determinar quantas são reais e isolar cada uma em um intervalo onde haja troca de sinal de
.
Passo 2
Usamos o Lema de Cauchy para obter uma cota em módulo para todas as raízes. Como
, seu coeficiente líder é
e os demais coeficientes em módulo são
. Logo
e a cota em módulo para todas as raízes é
Portanto todas as raízes estão em
.
Passo 3
Aplicamos a Regra de Descartes para contar as raízes positivas e negativas:
– Em , as alterações de sinal em
são duas, logo há 2 ou 0 raízes positivas.
– Em , há uma alteração de sinal em
, logo há exatamente 1 raiz negativa.
Como o grau é 3 (ímpar), deve haver um número ímpar de raízes reais no total. As opções são:
– 0 raízes positivas + 1 negativa = 1 real (impossível, pois grau 3 indica pelo menos uma outra real),
– 2 raízes positivas + 1 negativa = 3 reais.
– Em
– Em
Como o grau é 3 (ímpar), deve haver um número ímpar de raízes reais no total. As opções são:
– 0 raízes positivas + 1 negativa = 1 real (impossível, pois grau 3 indica pelo menos uma outra real),
– 2 raízes positivas + 1 negativa = 3 reais.
Passo 4
Vamos tabelar
em pontos inteiros de
a
para achar trocas de sinal:
As trocas de sinal ocorrem entre:
,
,
.
Passo 5
Cada troca de sinal indica um zero simples de
no intervalo correspondente:
– e
⇒ raiz em
.
– e
⇒ raiz em
.
– e
⇒ raiz em
.
–
–
–
Resposta
As raízes de
satisfazem
. Há 3 raízes reais, isoladas nos intervalos