Calcule os limitantes e a quantidade de raizes reais existentes das equações polinomiais a seguir. Utilize o tabelamento da função de f(\boldsymbol{x}) para analisar as variações de sinal e isolar as raizes (encontrar os intervalos correspondentes) dessas equações.
f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-x+3=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os limitantes (cotas) das raízes de
f(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+3=0,
além de determinar quantas são reais e isolar cada uma em um intervalo onde haja troca de sinal de f(x).

Passo 2

Usamos o Lema de Cauchy para obter uma cota em módulo para todas as raízes. Como f(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+3, seu coeficiente líder é 2 e os demais coeficientes em módulo são \{5,1,3\}. Logo
M = \max\bigl\{\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr\} = \tfrac{5}{2},
e a cota em módulo para todas as raízes é
|x|\le 1 + M = 1 + \tfrac{5}{2} = 3,5.
Portanto todas as raízes estão em [-3,5,\,3,5].

Passo 3

Aplicamos a Regra de Descartes para contar as raízes positivas e negativas:
– Em f(x), as alterações de sinal em 2\to -5\to -1\to 3 são duas, logo há 2 ou 0 raízes positivas.
– Em f(-x)= -2x^{3}-5x^{2}+x+3, há uma alteração de sinal em -5\to +1, logo há exatamente 1 raiz negativa.
Como o grau é 3 (ímpar), deve haver um número ímpar de raízes reais no total. As opções são:
– 0 raízes positivas + 1 negativa = 1 real (impossível, pois grau 3 indica pelo menos uma outra real),
– 2 raízes positivas + 1 negativa = 3 reais.

Passo 4

Vamos tabelar f(x) em pontos inteiros de -2 a 4 para achar trocas de sinal:
\begin{array}{c|r|c} x & f(x) & \text{Sinal}\\hline -2 & 2(-8)-5(4)-(-2)+3 = -16-20+2+3 = -31 & -\\\\ -1 & 2(-1)-5(1)-(-1)+3 = -2-5+1+3 = -3 & -\\\\ 0 & 3 & +\\\\ 1 & 2-5-1+3 = -1 & -\\\\ 2 & 16-20-2+3 = -3 & -\\\\ 3 & 54-45-3+3 = 9 & +\\\\ 4 & 128-80-4+3 = 47 & + \end{array}
As trocas de sinal ocorrem entre:
-1\to0,
0\to1,
2\to3.

Passo 5

Cada troca de sinal indica um zero simples de f(x) no intervalo correspondente:
f(-1)<0 e f(0)>0 ⇒ raiz em (-1,0).
f(0)>0 e f(1)<0 ⇒ raiz em (0,1).
f(2)<0 e f(3)>0 ⇒ raiz em (2,3).

Resposta

As raízes de 2x^{3}-5x^{2}-x+3=0 satisfazem |x|\le 3,5. Há 3 raízes reais, isoladas nos intervalos
(-1,0),\quad (0,1),\quad (2,3).

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