Calcule os limitantes e a quantidade de raizes reais existentes das equações polinomiais a seguir. Utilize o tabelamento da função de f(\boldsymbol{x}) para analisar as variações de sinal e isolar as raizes (encontrar os intervalos correspondentes) dessas equações.
f(x)=x^{6}+5 x^{5}+x^{4}+3 x^{3}-x^{2}+x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os limitantes (ou seja, um intervalo que contenha todas as raízes reais), o número de raízes reais e, por tabelamento de sinais, isolar cada uma delas em um subintervalo. O conteúdo que vamos usar inclui:
  1. O teorema de Cauchy para limites de raízes reais.
  2. A regra de sinais de Descartes para contar possíveis raízes positivas e negativas.
  3. O tabelamento da função para identificar variações de sinal e, assim, isolar cada raiz.

Passo 2

Aplicamos Cauchy em f(x)=x^6+5x^5+x^4+3x^3-x^2+x-2. Como o coeficiente principal é 1 e o maior módulo entre os outros coeficientes é \max\{5,1,3,1,1,2\}=5, toda raiz real \alpha satisfaz
|\alpha|\le 1 + 5 = 6.
Logo, todos os zeros reais estão em [-6,6].

Passo 3

Para refinar o limite inferior de raízes negativas, considere f(-x):
f(-x)=(-x)^6+5(-x)^5+(-x)^4+3(-x)^3-(-x)^2+(-x)-2 =x^6-5x^5+x^4-3x^3-x^2-x-2.
Aqui o maior coeficiente em módulo também é 5, dando para as raízes de f(-x) o limite x\le 6. Isso confirma que as raízes negativas de f satisfazem \alpha\ge -6. Em conjunto, reafirmamos o intervalo [-6,6].

Passo 4

Usamos Descartes para contar sinais em f(x) e f(-x):
  • Em f(x): sinais dos termos são +,+,+,+,-,+,-. Há 3 mudanças de sinal ⇒ existem 3 ou 1 raiz positiva.
  • Em f(-x): sinais são +,-,+,-,-,-,-. Há 3 mudanças ⇒ existem 3 ou 1 raiz negativa.
    Como o grau é 6, as possibilidades de raízes reais totais são 6,4 ou 2. Vamos isolar para ver qual ocorre.

Passo 5

Tabelamos f(x) em pontos de -6 a 2:
  • f(-6)=8380>0
  • f(-4)=-982<0 ⇒ há mudança de sinal em (-6,-4) → uma raiz aí.
  • f(-2)=-112<0 e f(0)=-2<0 ⇒ sem mudança em [-4,0].
  • f(1)=1+5+1+3-1+1-2=8>0 e f(0)=-2<0 ⇒ mudança em (0,1) → uma raiz aí.
  • Para x\ge1, f(2)=260>0, f(3)=2098>0, etc., sem novas mudanças.
Assim, encontramos exatamente duas raízes reais e as isolamos em
(-6,-4) \quad\text{e}\quad (0,1).

Resposta

As raízes reais de f(x) estão todas em [-6,6]. Há \boxed{2} raízes reais, isoladas nos intervalos
(-6,-4) \quad\text{e}\quad (0,1).

Exercícios relacionados