Calcule os limitantes e a quantidade de raizes reais existentes das equações polinomiais a seguir. Utilize o tabelamento da função de
para analisar as variações de sinal e isolar as raizes (encontrar os intervalos correspondentes) dessas equações.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os limitantes (ou seja, um intervalo que contenha todas as raízes reais), o número de raízes reais e, por tabelamento de sinais, isolar cada uma delas em um subintervalo. O conteúdo que vamos usar inclui:
- O teorema de Cauchy para limites de raízes reais.
- A regra de sinais de Descartes para contar possíveis raízes positivas e negativas.
- O tabelamento da função para identificar variações de sinal e, assim, isolar cada raiz.
Passo 2
Aplicamos Cauchy em
. Como o coeficiente principal é
e o maior módulo entre os outros coeficientes é
, toda raiz real
satisfaz
Logo, todos os zeros reais estão em
.
Passo 3
Para refinar o limite inferior de raízes negativas, considere
:
Aqui o maior coeficiente em módulo também é
, dando para as raízes de
o limite
. Isso confirma que as raízes negativas de
satisfazem
. Em conjunto, reafirmamos o intervalo
.
Passo 4
Usamos Descartes para contar sinais em
e
:
- Em
: sinais dos termos são . Há 3 mudanças de sinal ⇒ existem ou raiz positiva. - Em
: sinais são . Há 3 mudanças ⇒ existem ou raiz negativa.
Como o grau é, as possibilidades de raízes reais totais são ou . Vamos isolar para ver qual ocorre.
Passo 5
Tabelamos
em pontos de
a
:
-
-
⇒ há mudança de sinal em → uma raiz aí. -
e ⇒ sem mudança em . -
e ⇒ mudança em → uma raiz aí. - Para
, , , etc., sem novas mudanças.
Assim, encontramos exatamente duas raízes reais e as isolamos em
Resposta
As raízes reais de
estão todas em
. Há
raízes reais, isoladas nos intervalos