Calcule os limitantes e a quantidade de raizes reais existentes das equações polinomiais a seguir. Utilize o tabelamento da função de
para analisar as variações de sinal e isolar as raizes (encontrar os intervalos correspondentes) dessas equações.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os “limitantes” (ou seja, os limites dentro dos quais estão todas as raízes, reais ou complexas) da equação
e, em seguida, determinar quantas raízes reais ela tem e em que intervalos elas se isolam, usando tabelamento (variação de sinal). Vamos usar para isso o critério de Cauchy (para os limitantes), o teste de Descartes (para contar raízes positivas e negativas) e avaliar
em pontos estratégicos para isolar os sinais.
Passo 2
Para achar um limitante superior real, aplicamos o critério de Cauchy: se
e
é o coeficiente líder de
, então todo zero
de
satisfaz
Logo, todos os zeros estão em
Passo 3
Aplicamos o teste de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas:
-
Em
os sinais dos coeficientes são . Há 2 trocas de sinal, logo há 2 ou 0 raízes positivas. -
Em
os sinais são . Há 2 trocas de sinal, logo há 2 ou 0 raízes negativas.
Passo 4
Agora avaliamos
em pontos de fácil cálculo para montar a tabela de sinais:
Passo 5
Da tabela de sinais em ordem crescente de
:
- Para
: , sem mudança de sinal, logo nenhuma raiz negativa. - Entre
e : muda para , tem 1 raiz em . - Entre
e : permanece negativo, sem raiz. - Entre
e : muda de para , tem 1 raiz em . - Para
: , sem mais mudanças.
Isso confirma as duas raízes positivas e nenhuma negativa, compatível com Descartes.
Resposta
Limitantes: todas as raízes satisfazem
Existem exatamente 2 raízes reais, isoladas em
As demais duas raízes são complexas.