Calcule os limitantes e a quantidade de raizes reais existentes das equações polinomiais a seguir. Utilize o tabelamento da função de f(\boldsymbol{x}) para analisar as variações de sinal e isolar as raizes (encontrar os intervalos correspondentes) dessas equações.
f(x)=3 x^{4}-5 x^{3}-x^{2}-8 x+4=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os “limitantes” (ou seja, os limites dentro dos quais estão todas as raízes, reais ou complexas) da equação
f(x)=3x^{4}-5x^{3}-x^{2}-8x+4=0
e, em seguida, determinar quantas raízes reais ela tem e em que intervalos elas se isolam, usando tabelamento (variação de sinal). Vamos usar para isso o critério de Cauchy (para os limitantes), o teste de Descartes (para contar raízes positivas e negativas) e avaliar f(x) em pontos estratégicos para isolar os sinais.

Passo 2

Para achar um limitante superior real, aplicamos o critério de Cauchy: se
M=\max\bigl\{|{-5}|,\;|{-1}|,\;|{-8}|,\;|4|\bigr\}=8
e a_{n}=3 é o coeficiente líder de x^{4}, então todo zero \alpha de f satisfaz
|\alpha|\le 1+\frac{M}{a_{n}}=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}\approx3,67.
Logo, todos os zeros estão em
-\,\frac{11}{3}\le x\le\frac{11}{3}.

Passo 3

Aplicamos o teste de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas:
  1. Em f(x) os sinais dos coeficientes são +,-,-,-,+. Há 2 trocas de sinal, logo há 2 ou 0 raízes positivas.
  2. Em f(-x)=3x^{4}+5x^{3}-x^{2}+8x+4 os sinais são +,+,-,+,+. Há 2 trocas de sinal, logo há 2 ou 0 raízes negativas.

Passo 4

Agora avaliamos f(x) em pontos de fácil cálculo para montar a tabela de sinais:
\begin{aligned} f(-2)&=3\cdot16\;+\;5\cdot(-8)\;-\;4\;+\;16\;+\;4 =104>0,\\\ f(-1)&=3\;+\;5\;-\;1\;+\;8\;+\;4 =19>0,\\\ f(0)&=4>0,\\\ f(1)&=3-5-1-8+4=-7<0,\\\ f(2)&=48-40-4-16+4=-8<0,\\\ f(3)&=243-135-9-24+4=79>0. \end{aligned}

Passo 5

Da tabela de sinais em ordem crescente de x:
  • Para x<0: f(x)>0, sem mudança de sinal, logo nenhuma raiz negativa.
  • Entre x=0 e x=1: f(0)=+4 muda para f(1)=-7, tem 1 raiz em (0,1).
  • Entre x=1 e x=2: permanece negativo, sem raiz.
  • Entre x=2 e x=3: muda de f(2)=-8 para f(3)=+79, tem 1 raiz em (2,3).
  • Para x>3: f(x)>0, sem mais mudanças.
Isso confirma as duas raízes positivas e nenhuma negativa, compatível com Descartes.

Resposta

Limitantes: todas as raízes satisfazem
-\,\tfrac{11}{3}\le x\le\tfrac{11}{3}.
Existem exatamente 2 raízes reais, isoladas em
\text{uma em }(0,1),\quad\text{e outra em }(2,3).
As demais duas raízes são complexas.

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