(2,0) Utilizando a lógica de predicados, prove que o seguinte argumento: “Toda capivara é maior do que qualquer hamster. Capi é uma capivara. Mas existe um elefante e Capi não é maior do que esse elefante. Portanto, alguma coisa não é um hamster”. Utilize os seguintes predicados: C(x) : x é uma capivara, H(x) : x é um hamster, E(x) : x é um elefante, M(x, y) : x é maior do que y, a é Capi.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos mostrar que, a partir das premissas
\forall x\forall y\bigl(C(x)\wedge H(y)\to M(x,y)\bigr), \quad C(a), \quad \exists z\bigl(E(z)\wedge \neg M(a,z)\bigr),
se segue
\exists w\,\neg H(w).
O conteúdo é lógica de predicados com quantificadores, negação e prova por contradição.

Passo 2

Vamos indicar as premissas em notação formal:
  1. \forall x\forall y\bigl(C(x)\wedge H(y)\to M(x,y)\bigr)
  2. C(a)
  3. \exists z\bigl(E(z)\wedge \neg M(a,z)\bigr)
    e a conclusão que queremos é \exists w\,\neg H(w).

Passo 3

Estratégia: provar \exists w\,\neg H(w) por redução ao absurdo. Ou seja, assumir temporariamente a negação da conclusão,
\neg\exists w\,\neg H(w),
que equivale a \forall w\,H(w), e mostrar que isso leva a uma contradição com as premissas.

Passo 4

  1. Suponha \forall w\,H(w).
  2. Da premissa (3) temos \exists z\bigl(E(z)\wedge \neg M(a,z)\bigr). Instancie esse existencial para obter um termo novo c tal que
E\text{(c)}\quad\text{e}\quad \neg M(a,c).
  1. Da suposição \forall w\,H(w) instancie em w=c e obtenha
H\text{(c)}.
  1. Da premissa (2) temos C(a). Assim C(a)\wedge H\text{(c)} vale. Pela premissa (1), instanciada em x=a e y=c, segue
C(a)\wedge H\text{(c)}\\ \to\\ M(a,c),
logo M(a,c).
5. Mas isso contraria \neg M(a,c) extraído do passo 2. Logo chegamos a contradição.

Passo 5

Como a suposição \forall w\,H(w) levou a uma contradição, concluímos a negação dela, ou seja
\exists w\,\neg H(w).

Resposta

\exists w\,\neg H(w)

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