Calcule a matriz jacobiona J\left(x^{101}\right) do sistema de equaçón
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}=0 \\\\ -\frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{4 x_{2}-x_{2}^{2}}{4}=-1, \text { com } x^{(0)}=(-1,-2)^{\top} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} F_{1}(x_{1},x_{2}) = 4x_{1} - x_{1}^{3} + x_{2} = 0,\\\ F_{2}(x_{1},x_{2}) = -\frac{x_{1}^{2}}{9} + \frac{4x_{2}-x_{2}^{2}}{4} = -1, \end{cases}
e pede a matriz jacobiana J(x) avaliada em x^{(0)}=(-1,-2)^{\top}. Vamos usar derivadas parciais para montar
J(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 2

Calculemos as derivadas de F_{1}(x_{1},x_{2})=4x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} =4 - 3x_{1}^{2}, \qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} =1.

Passo 3

Agora as derivadas de
F_{2}(x_{1},x_{2}) =-\frac{x_{1}^{2}}{9} + \frac{4x_{2}-x_{2}^{2}}{4} +1
(lembrando de passar o -1 para o lado esquerdo):
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} =-\frac{2x_{1}}{9}, \qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} =\frac{4}{4}-\frac{2x_{2}}{4} =1-\frac{x_{2}}{2}.

Passo 4

Assim a jacobiana geral é
J(x_{1},x_{2}) =\begin{pmatrix} 4-3x_{1}^{2} & 1\\[6pt] -\frac{2x_{1}}{9} & 1-\frac{x_{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Avaliaremos em x^{(0)}=(-1,-2):
4-3(-1)^{2}=4-3=1, \quad 1-\frac{-2}{2}=1+1=2, \quad -\frac{2(-1)}{9}=\frac{2}{9}.
Logo
J\bigl(x^{(0)}\bigr) =\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] \frac{2}{9} & 2 \end{pmatrix}.]

Resposta

J\bigl(x^{(0)}\bigr) =\begin{pmatrix} 1 & 1\\\ \frac{2}{9} & 2 \end{pmatrix}.

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