(Sistemas năo lineares) Calcule a mutriz jacobina J\left(x^{(0)}\right) do sistema de equaçös
\left\{\begin{aligned} 4 r_{1}-x_{1}^{3}+r_{2} & =0 \\\\ -\frac{r_{1}^{2}}{9}+\frac{4 x_{2}-r_{2}^{2}}{4} & =-1 \end{aligned} \quad \text { com } \mathrm{x}^{(0)}=(-1,-2)^{T}\right.

Passo 1

O enunciado pede a jacobiana do sistema
\begin{cases} 4x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}=0,\\\\ -\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9}+\displaystyle \frac{4x_{2}-x_{2}^{2}}{4}=-1 \end{cases}
em \mathbf{x}^{(0)}=(-1,-2)^{T}. Para isso, vamos usar a definição de matriz jacobiana, cujas entradas são \partial F_{i}/\partial x_{j}, onde F_{i} são as equações do sistema.

Passo 2

Definimos
F_{1}(x_{1},x_{2}) = 4x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}, \quad F_{2}(x_{1},x_{2}) = -\frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{4x_{2}-x_{2}^{2}}{4}+1,
de modo que o sistema F_{1}=0,\;F_{2}=0 é equivalente ao enunciado original.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} = 4 - 3x_{1}^{2}, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} = 1,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} = -\frac{2x_{1}}{9}, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} = \frac{4-2x_{2}}{4} = 1 - \frac{x_{2}}{2}.

Passo 4

Avaliamo em \mathbf{x}^{(0)}=(-1,-2):
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(-1,-2) = 4 - 3\cdot(-1)^{2} = 1, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}(-1,-2) = 1,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}(-1,-2) = -\frac{2\cdot(-1)}{9} = \frac{2}{9}, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}(-1,-2) = 1 - \frac{-2}{2} = 2.

Resposta

J\bigl(\mathbf{x}^{(0)}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[6pt] \frac{2}{9} & 2 \end{pmatrix}]

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