(Sistemas năo lineares) Calcule a mutriz jacobina J\left(x^{(0)}\right) do sistema de equaçös \left\{\begin{aligned} 4 r_{1}-x_{1}^{3}+r_{2} & =0 \\\\ -\frac{r_{1}^{2}}{9}+\frac{4 x_{2}-r_{2}^{2}}{4} & =-1 \end{aligned} \quad \text { com } \mathrm{x}^{(0)}=(-1,-2)^{T}\right. Passo 1O enunciado pede a jacobiana do sistema \begin{cases} 4x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}=0,\\\\ -\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9}+\displaystyle \frac{4x_{2}-x_{2}^{2}}{4}=-1 \end{cases} em \mathbf{x}^{(0)}=(-1,-2)^{T}. Para isso, vamos usar a definição de matriz jacobiana, cujas entradas são \partial F_{i}/\partial x_{j}, onde F_{i} são as equações do sistema. Passo 2Definimos F_{1}(x_{1},x_{2}) = 4x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}, \quad F_{2}(x_{1},x_{2}) = -\frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{4x_{2}-x_{2}^{2}}{4}+1, de modo que o sistema F_{1}=0,\;F_{2}=0 é equivalente ao enunciado original. Passo 3Calculamos as derivadas parciais gerais: \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} = 4 - 3x_{1}^{2}, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} = 1, \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} = -\frac{2x_{1}}{9}, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} = \frac{4-2x_{2}}{4} = 1 - \frac{x_{2}}{2}. Passo 4Avaliamo em \mathbf{x}^{(0)}=(-1,-2): \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(-1,-2) = 4 - 3\cdot(-1)^{2} = 1, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}(-1,-2) = 1, \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}(-1,-2) = -\frac{2\cdot(-1)}{9} = \frac{2}{9}, \quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}(-1,-2) = 1 - \frac{-2}{2} = 2. Resposta J\bigl(\mathbf{x}^{(0)}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[6pt] \frac{2}{9} & 2 \end{pmatrix}] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a matriz jacobiona J\left(x^{101}\right) do sistema de equaçón \left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}=0 \\\\ -\frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{4 x_{2}-x_{2}^{2}}{4}=-1, \text { com } x^{(0)}=(-1,-2)^{\top} \end{array}\right. Seja I=\int_{1}^{2.2} x^{3} e^{x+1} d x a) Aproximar a integral I, usando a regra de Simpson Repetida sobre 7 pontos (efetuar os cálculos com 4 decimais). b) Estime o erro máximo cometido. Reescreva as seguintes equações como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^{\text {a }} ordem: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}^{(4)}+\cos (\mathrm{x}) \mathrm{y}^{\prime \prime \prime}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{y}^{\prime \prime}-\left(\mathrm{x}^{2}+1\right) \mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{xy}=2 \mathrm{x} \operatorname{sen}(\mathrm{xy}) \\\ \mathrm{y}(0)=0, \mathrm{y}^{\prime}(0)=1, \mathrm{y}^{\prime \prime}(0)=2, \mathrm{y}^{\prime \prime \prime}(0)=3\end{array}\right. Reescreva as seguintes equações como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^{\text {a }} ordem: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}^{\prime \prime \prime}+\left(\mathrm{xy}^{\prime \prime}\right)^{2} /\left(1+\mathrm{y}^{\prime}\right)^{2}+\log (1+\mathrm{y})=0 \\\ \mathrm{y}(0)=\mathrm{y}^{\prime}(0)=0, \mathrm{y}^{\prime \prime}(0)=1 .\end{array}\right.