Reescreva as seguintes equações como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^{\text {a }} ordem:
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}^{(4)}+\cos (\mathrm{x}) \mathrm{y}^{\prime \prime \prime}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{y}^{\prime \prime}-\left(\mathrm{x}^{2}+1\right) \mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{xy}=2 \mathrm{x} \operatorname{sen}(\mathrm{xy}) \\\ \mathrm{y}(0)=0, \mathrm{y}^{\prime}(0)=1, \mathrm{y}^{\prime \prime}(0)=2, \mathrm{y}^{\prime \prime \prime}(0)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de quarta ordem
y^{(4)}+\cos(x)\,y'''+e^{-x}\,y''-(x^2+1)\,y'+x\,y=2x\sin(xy)
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=2,\quad y'''(0)=3.
O que precisamos é transformar essa única EDO de ordem 4 num sistema de EDOs de primeira ordem, usando variáveis de estado para y e suas derivadas.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_1 = y,\quad x_2 = y',\quad x_3 = y'',\quad x_4 = y'''
para reduzir a ordem. As três primeiras equações do sistema vêm diretamente das definições:
x_1' = x_2,
x_2' = x_3,
x_3' = x_4.

Passo 3

Agora isolamos y^{(4)} na equação original:
y^{(4)} = 2x\sin(xy)\;-\;\cos(x)\,y'''\;-\;e^{-x}\,y''\;+\;(x^2+1)\,y'\;-\;x\,y.
Em seguida substituímos y=x_1, y'=x_2, y''=x_3 e y'''=x_4.

Passo 4

Fazendo as substituições, obtemos a quarta equação de primeira ordem:
x_4' = 2x\sin\bigl(x\,x_1\bigr)\;-\;\cos(x)\,x_4\;-\;e^{-x}\,x_3\;+\;(x^2+1)\,x_2\;-\;x\,x_1.
As condições iniciais viram
x_1(0)=0,\quad x_2(0)=1,\quad x_3(0)=2,\quad x_4(0)=3.

Resposta

O sistema de EDOs de primeira ordem equivalente é
\begin{cases} x_1' = x_2,\\\ x_2' = x_3,\\\ x_3' = x_4,\\\ x_4' = 2x\sin\bigl(x\,x_1\bigr)\;-\;\cos(x)\,x_4\;-\;e^{-x}\,x_3\;+\;(x^2+1)\,x_2\;-\;x\,x_1, \end{cases}
com
x_1(0)=0,\quad x_2(0)=1,\quad x_3(0)=2,\quad x_4(0)=3.

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