Numa esfera de superfície conhecida, o coeficiente de absorção 0,7 foi mantido à temperatura de 6000^circ k. Foi calculada a energia irradiada de acordo com o tempo de irradiação, obedecendo à tabela seguinte:
Energia irradiada <br> (joule) 71,72 times 10^3 94,72 times 10^3 118,4 times 10^3 142,08 times 10^3 165,76 times 10^3 189,44 times 10^3
Tempo de <br> Irradiação (s) 600 800 1000 1200 1400 1600
a) Usando interpolação inversa com um polinômio do 2^circ grau, encontre a energia irradiada aos 22 minutos.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera que, a 6000 K, emite certa energia conforme o tempo de irradiação. Medimos (tempo t, energia E) em seis pontos e queremos saber a energia irradiada aos 22 min (ou seja, 22×60 s = 1320 s), usando interpolação inversa de grau 2.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange) e, no caso “inverso”, a gente troca (t,E) para encontrar E em função de t. Vamos precisar conhecer a fórmula de Lagrange e aplicar passo a passo.

Passo 2

Teoria rápida de interpolação inversa com Lagrange: normalmente temos E=f(t) e construiríamos um polinômio de grau ≤2 em t. Em vez disso, trocamos as variáveis e construímos o polinômio
E(t)approx sumi=1^3 Ei,elli(t),
onde
elli(t)=prodjneq it - tjti - tj
Isso aproxima a função inversa t↦E sem ter que resolver equações.

Passo 3

Escolhemos três pontos “próximos” de t=1320 para minimizar erro. Os tempos mais perto de 1320 s são 1200 s, 1400 s e 1600 s, com energias:
t₁=1200 s, E₁=142{,}08×10³ J
t₂=1400 s, E₂=165{,}76×10³ J
t₃=1600 s, E₃=189{,}44×10³ J

Passo 4

Escrevemos os polinômios básicos ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ em t=1320:
ℓ₁(1320) = ((1320−1400)(1320−1600)) / ((1200−1400)(1200−1600))
ℓ₂(1320) = ((1320−1200)(1320−1600)) / ((1400−1200)(1400−1600))
ℓ₃(1320) = ((1320−1200)(1320−1400)) / ((1600−1200)(1600−1400))

Passo 5

Calculando:
ℓ₁(1320) = (–80·–280)/(–200·–400) = 22400/80000 = 0{,}28
ℓ₂(1320) = (120·–280)/(200·–200) = –33600/–40000 = 0{,}84
ℓ₃(1320) = (120·–80)/(400·200) = –9600/80000 = –0{,}12

Passo 6

Agora a interpolação inversa dá
E(1320)=E1,ell1+E2,ell2+E3,ell3
=142,08times10^3cdot0,28 ;+;165,76times10^3cdot0,84 ;+;189,44times10^3cdot(-0,12)
Fazendo as contas:
142{,}08·0{,}28 = 39{,}7824 (×10³ J)
165{,}76·0{,}84 = 139{,}2384 (×10³ J)
189{,}44·(–0{,}12) = –22{,}7328 (×10³ J)
Somando: 39{,}7824 + 139{,}2384 – 22{,}7328 = 156{,}288 (×10³ J)

Resposta

A energia irradiada aos 22 min é aproximadamente
boxed1,56times10^5 J

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