Numa esfera de superfície conhecida, o coeficiente de absorção 0,7 foi mantido à temperatura de
. Foi calculada a energia irradiada de acordo com o tempo de irradiação, obedecendo à tabela seguinte:
Energia irradiada <br> (joule) |
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Tempo de <br> Irradiação (s) | 600 | 800 | 1000 | 1200 | 1400 | 1600 |
a) Usando interpolação inversa com um polinômio do
grau, encontre a energia irradiada aos 22 minutos.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera que, a 6000 K, emite certa energia conforme o tempo de irradiação. Medimos (tempo t, energia E) em seis pontos e queremos saber a energia irradiada aos 22 min (ou seja, 22×60 s = 1320 s), usando interpolação inversa de grau 2.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange) e, no caso “inverso”, a gente troca (t,E) para encontrar E em função de t. Vamos precisar conhecer a fórmula de Lagrange e aplicar passo a passo.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange) e, no caso “inverso”, a gente troca (t,E) para encontrar E em função de t. Vamos precisar conhecer a fórmula de Lagrange e aplicar passo a passo.
Passo 2
Teoria rápida de interpolação inversa com Lagrange: normalmente temos E=f(t) e construiríamos um polinômio de grau ≤2 em t. Em vez disso, trocamos as variáveis e construímos o polinômio
onde
Isso aproxima a função inversa t↦E sem ter que resolver equações.
Passo 3
Escolhemos três pontos “próximos” de t=1320 para minimizar erro. Os tempos mais perto de 1320 s são 1200 s, 1400 s e 1600 s, com energias:
t₁=1200 s, E₁=142{,}08×10³ J
t₂=1400 s, E₂=165{,}76×10³ J
t₃=1600 s, E₃=189{,}44×10³ J
t₁=1200 s, E₁=142{,}08×10³ J
t₂=1400 s, E₂=165{,}76×10³ J
t₃=1600 s, E₃=189{,}44×10³ J
Passo 4
Escrevemos os polinômios básicos ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ em t=1320:
ℓ₁(1320) = ((1320−1400)(1320−1600)) / ((1200−1400)(1200−1600))
ℓ₂(1320) = ((1320−1200)(1320−1600)) / ((1400−1200)(1400−1600))
ℓ₃(1320) = ((1320−1200)(1320−1400)) / ((1600−1200)(1600−1400))
ℓ₁(1320) = ((1320−1400)(1320−1600)) / ((1200−1400)(1200−1600))
ℓ₂(1320) = ((1320−1200)(1320−1600)) / ((1400−1200)(1400−1600))
ℓ₃(1320) = ((1320−1200)(1320−1400)) / ((1600−1200)(1600−1400))
Passo 5
Calculando:
ℓ₁(1320) = (–80·–280)/(–200·–400) = 22400/80000 = 0{,}28
ℓ₂(1320) = (120·–280)/(200·–200) = –33600/–40000 = 0{,}84
ℓ₃(1320) = (120·–80)/(400·200) = –9600/80000 = –0{,}12
ℓ₁(1320) = (–80·–280)/(–200·–400) = 22400/80000 = 0{,}28
ℓ₂(1320) = (120·–280)/(200·–200) = –33600/–40000 = 0{,}84
ℓ₃(1320) = (120·–80)/(400·200) = –9600/80000 = –0{,}12
Passo 6
Agora a interpolação inversa dá
Fazendo as contas:
142{,}08·0{,}28 = 39{,}7824 (×10³ J)
165{,}76·0{,}84 = 139{,}2384 (×10³ J)
189{,}44·(–0{,}12) = –22{,}7328 (×10³ J)
Somando: 39{,}7824 + 139{,}2384 – 22{,}7328 = 156{,}288 (×10³ J)
142{,}08·0{,}28 = 39{,}7824 (×10³ J)
165{,}76·0{,}84 = 139{,}2384 (×10³ J)
189{,}44·(–0{,}12) = –22{,}7328 (×10³ J)
Somando: 39{,}7824 + 139{,}2384 – 22{,}7328 = 156{,}288 (×10³ J)
Resposta
A energia irradiada aos 22 min é aproximadamente