Calcule
(""|\cdot|{1},""|\cdot|{2} \mathrm{e}""|\cdot|_{F}") para cada matriz.
(""\left[ \begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right]"")

Passo 1

O enunciado pede para calcular as normas \|\cdot\|_{1}, \|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{F} da matriz
A=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & -2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é explícita e real, com entradas a_{11}=-2, a_{12}=1, a_{13}=0, a_{21}=1, a_{22}=-2, a_{23}=1, a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=-2.
  • Preciso retornar três normas diferentes: \|A\|_{1} (norma-1), \|A\|_{2} (norma espectral) e \|A\|_{F} (norma de Frobenius).]

Passo 2

Definição e cálculo da norma \|A\|_{1}.
Definição: a norma-1 de uma matriz é o máximo das somas das magnitudes das entradas em cada coluna:
\|A\|_{1}=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|.
Calculemos as somas por coluna:
  • Coluna 1: |a_{11}|+|a_{21}|+|a_{31}| = |-2|+|1|+|0| = 2+1+0 = 3.
  • Coluna 2: |a_{12}|+|a_{22}|+|a_{32}| = |1|+|-2|+|1| = 1+2+1 = 4.
  • Coluna 3: |a_{13}|+|a_{23}|+|a_{33}| = |0|+|1|+|-2| = 0+1+2 = 3.
O máximo dessas somas é 4. Portanto,
\|A\|_{1}=4.

Passo 3

Definição e cálculo da norma de Frobenius \|A\|_{F}.
Definição: a norma de Frobenius é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todas as entradas da matriz:
\|A\|_{F}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^{2}}.
Calculemos os quadrados das entradas e somemos:
  • Elementos na diagonal: (-2)^2+(-2)^2+(-2)^2 = 4+4+4 = 12.
  • Elementos fora da diagonal que são 1: há quatro uns (posições (1,2),(2,1),(2,3),(3,2)), cuja soma dos quadrados é 1+1+1+1=4.
Soma total dos quadrados = 12+4=16. Então
\|A\|_{F}=\sqrt{16}=4.

Passo 4

Definição da norma espectral \|A\|_{2} e abordagem escolhida.
Definição: \|A\|_{2} é o maior valor singular de A. Para uma matriz real qualquer, os valores singulares são as raízes quadradas dos autovalores de A^{T}A. No caso especial em que A é simétrica (isto é, A^{T}=A), os autovalores de A são reais e os valores singulares são simplesmente os valores absolutos desses autovalores. Portanto, para matriz simétrica:
\|A\|_{2}=\max_{i}|\lambda_{i}|,
onde \lambda_{i} são os autovalores reais de A.
A matriz dada é simétrica, logo basta achar os autovalores de A e tomar o maior valor absoluto.

Passo 5

Cálculo dos autovalores de A via polinômio característico.
Forme A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}-2-\lambda & 1 & 0 \\[4pt] 1 & -2-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante (polinômio característico) pode ser calculado expandindo pela primeira linha:
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(-2-\lambda)^2-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -2-\lambda\end{pmatrix}=1\cdot(-2-\lambda)-1\cdot 0 = -2-\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)\bigl[(-2-\lambda)^2-1\bigr] - (-2-\lambda).
Fatorando (-2-\lambda):
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)\bigl[(-2-\lambda)^2-1 -1\bigr] =(-2-\lambda)\bigl[(-2-\lambda)^2-2\bigr].
Logo o polinômio característico se anula quando
(-2-\lambda)=0 \quad\text{ou}\quad (-2-\lambda)^2=2.
Resolvendo:
  • Da primeira igualdade vem \lambda=-2.
  • Da segunda temos -2-\lambda=\pm\sqrt{2}, portanto \lambda=-2\mp\sqrt{2}.
Assim os três autovalores são
\lambda_{1}=-2+\sqrt{2},\qquad \lambda_{2}=-2,\qquad \lambda_{3}=-2-\sqrt{2}.]

Passo 6

Determinação da norma espectral a partir dos autovalores.
Calcule os valores absolutos:
|\lambda_{1}|=|{-2+\sqrt{2}}|=2-\sqrt{2}\quad(\approx 0{,}5858),
|\lambda_{2}|=2,
|\lambda_{3}|=|{-2-\sqrt{2}}|=2+\sqrt{2}\quad(\approx 3{,}4142).
O maior valor absoluto é 2+\sqrt{2}. Portanto
\|A\|_{2}=2+\sqrt{2}.

Resposta

\|A\|_{1}=4
\|A\|_{2}=2+\sqrt{2}
\|A\|_{F}=4

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