a) Calcular a decomposição de Cholesky de A, ou seja, encontrar uma matriz triangular inferior L com diagonais positivas tal que
A = L\,L^{T}.
b) Usando a decomposição de Cholesky encontrada, calcular \det(A).
Informações relevantes do enunciado que usaremos: a matriz A está explícita (todos os seus elementos foram dados) e é simétrica (observe que a_{ij}=a_{ji} em todos os casos). Nada mais é pedido além desses dois itens.
Passo 2
O que é a decomposição de Cholesky e como calculamos os elementos de L.
Definição prática: para uma matriz simétrica e definida positiva A de ordem n, existe uma única matriz triangular inferior L com elementos l_{ij} (onde l_{ij}=0 para j>i e l_{ii}>0) tal que
A = L\,L^{T}.
Fórmulas de cálculo (estas são as ferramentas que usaremos passo a passo):
Explicando os símbolos: a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz A; l_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de L. As somas somam produtos de elementos já calculados de linhas anteriores (por isso fazemos linha por linha).
Vamos aplicar essas fórmulas linha a linha para a matriz de ordem 5.
Passo 3
Cálculo da primeira linha/coluna de L (índice i=1).
Usando a fórmula do diagonal:
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1.
Como não há elementos abaixo do primeiro na mesma coluna já calculados, terminamos a primeira etapa com
l_{11} = 1.
Passo 4
Cálculo da segunda linha/coluna de L (índice i=2).