Questão 5. Considere a seguinte matrix
A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 5 & 2 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 20 & 6 & 10 \\\\ 1 & 1 & 6 & 6 & 3 \\\\ 1 & 1 & 10 & 3 & 6 \end{array}\right)
a) calcule a decomposição de Clolesky da matriz A;
b) usando a decomposição de Clolesky da matriz A, calcule det (A).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 5 & 2 & 1 & 1 \\\\ 2 & 2 & 20 & 6 & 10 \\\\ 1 & 1 & 6 & 6 & 3 \\\\ 1 & 1 & 10 & 3 & 6 \end{array}\right)
e pede duas coisas:
a) Calcular a decomposição de Cholesky de A, ou seja, encontrar uma matriz triangular inferior L com diagonais positivas tal que
A = L\,L^{T}.
b) Usando a decomposição de Cholesky encontrada, calcular \det(A).
Informações relevantes do enunciado que usaremos: a matriz A está explícita (todos os seus elementos foram dados) e é simétrica (observe que a_{ij}=a_{ji} em todos os casos). Nada mais é pedido além desses dois itens.

Passo 2

O que é a decomposição de Cholesky e como calculamos os elementos de L.
Definição prática: para uma matriz simétrica e definida positiva A de ordem n, existe uma única matriz triangular inferior L com elementos l_{ij} (onde l_{ij}=0 para j>i e l_{ii}>0) tal que
A = L\,L^{T}.
Fórmulas de cálculo (estas são as ferramentas que usaremos passo a passo):
l_{ii} = \sqrt{\,a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}\,},\qquad i=1,\dots,n,
l_{ij} = \frac{1}{l_{jj}}\left(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}\,l_{jk}\right),\qquad i=j+1,\dots,n,\; j=1,\dots,n-1.
Explicando os símbolos: a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz A; l_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de L. As somas somam produtos de elementos já calculados de linhas anteriores (por isso fazemos linha por linha).
Vamos aplicar essas fórmulas linha a linha para a matriz de ordem 5.

Passo 3

Cálculo da primeira linha/coluna de L (índice i=1).
Usando a fórmula do diagonal:
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1.
Como não há elementos abaixo do primeiro na mesma coluna já calculados, terminamos a primeira etapa com
l_{11} = 1.

Passo 4

Cálculo da segunda linha/coluna de L (índice i=2).
Primeiro o elemento fora da diagonal l_{21}:
l_{21} = \frac{1}{l_{11}}\left(a_{21} - \sum_{k=1}^{0}(\cdots)\right) = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{1}{1} = 1.
Agora a diagonal l_{22}:
l_{22} = \sqrt{\,a_{22} - l_{21}^{2}\,} = \sqrt{5 - 1^{2}} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2.
Portanto:
l_{21}=1,\qquad l_{22}=2.

Passo 5

Cálculo da terceira linha/coluna de L (índice i=3) — vamos calcular l_{31},\,l_{32},\,l_{33}.
Primeiro l_{31}:
l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{2}{1} = 2.
Agora l_{32} pela fórmula com soma:
l_{32} = \frac{1}{l_{22}}\left(a_{32} - l_{31}l_{21}\right) = \frac{1}{2}\left(2 - 2\cdot 1\right) = \frac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Finalmente l_{33}:
l_{33} = \sqrt{\,a_{33} - l_{31}^{2} - l_{32}^{2}\,} = \sqrt{20 - 2^{2} - 0^{2}} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4.
Resumindo:
l_{31}=2,\quad l_{32}=0,\quad l_{33}=4.

Passo 6

Cálculo da quarta linha/coluna de L (índice i=4) — calculamos l_{41},\,l_{42},\,l_{43},\,l_{44}.
Começando por l_{41}:
l_{41} = \frac{a_{41}}{l_{11}} = \frac{1}{1} = 1.
Depois l_{42}:
l_{42} = \frac{1}{l_{22}}\left(a_{42} - l_{41}l_{21}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - 1\cdot 1\right) = \frac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Agora l_{43}:
l_{43} = \frac{1}{l_{33}}\left(a_{43} - l_{41}l_{31} - l_{42}l_{32}\right) = \frac{1}{4}\left(6 - 1\cdot 2 - 0\cdot 0\right) = \frac{1}{4}\cdot 4 = 1.
E finalmente l_{44}:
l_{44} = \sqrt{\,a_{44} - l_{41}^{2} - l_{42}^{2} - l_{43}^{2}\,} = \sqrt{6 - 1^{2} - 0^{2} - 1^{2}} = \sqrt{6 - 1 - 0 - 1} = \sqrt{4} = 2.
Portanto:
l_{41}=1,\quad l_{42}=0,\quad l_{43}=1,\quad l_{44}=2.

Passo 7

Cálculo da quinta linha/coluna de L (índice i=5) — calculamos l_{51},\,l_{52},\,l_{53},\,l_{54},\,l_{55}.
Primeiro l_{51}:
l_{51} = \frac{a_{51}}{l_{11}} = \frac{1}{1} = 1.
Depois l_{52}:
l_{52} = \frac{1}{l_{22}}\left(a_{52} - l_{51}l_{21}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - 1\cdot 1\right) = 0.
Agora l_{53}:
l_{53} = \frac{1}{l_{33}}\left(a_{53} - l_{51}l_{31} - l_{52}l_{32}\right) = \frac{1}{4}\left(10 - 1\cdot 2 - 0\cdot 0\right) = \frac{1}{4}\cdot 8 = 2.
Depois l_{54}:
l_{54} = \frac{1}{l_{44}}\left(a_{54} - l_{51}l_{41} - l_{52}l_{42} - l_{53}l_{43}\right) = \frac{1}{2}\left(3 - 1\cdot 1 - 0\cdot 0 - 2\cdot 1\right) = \frac{1}{2}\left(3 - 1 - 0 - 2\right) = \frac{0}{2} = 0.
Finalmente l_{55}:
l_{55} = \sqrt{\,a_{55} - l_{51}^{2} - l_{52}^{2} - l_{53}^{2} - l_{54}^{2}\,} = \sqrt{6 - 1^{2} - 0^{2} - 2^{2} - 0^{2}} = \sqrt{6 - 1 - 0 - 4 - 0} = \sqrt{1} = 1.
Assim:
l_{51}=1,\quad l_{52}=0,\quad l_{53}=2,\quad l_{54}=0,\quad l_{55}=1.

Passo 8

Juntando todos os elementos calculados, a matriz triangular inferior L (de Cholesky, com diagonais positivas) é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 4 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Você pode verificar rápido que L\,L^{T}=A calculando os produtos linha×coluna; eu já conferi os principais termos e batem com os dados de A.]

Passo 9

Como usar a decomposição de Cholesky para calcular \det(A).
Fato importante (fácil e muito útil): para qualquer matriz triangular L, \det(L) é o produto dos elementos da diagonal de L. Como A = L\,L^{T}, temos
\det(A) = \det(L)\det(L^{T}) = \det(L)^{2}.
Logo basta multiplicar os elementos diagonais de L e elevar ao quadrado.
Diagonais de L: l_{11}=1,\; l_{22}=2,\; l_{33}=4,\; l_{44}=2,\; l_{55}=1.
Produto:
\prod_{i=1}^{5} l_{ii} = 1\cdot 2\cdot 4\cdot 2\cdot 1 = 16.
Portanto
\det(A) = 16^{2} = 256.

Resposta

a) L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 4 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
b) \det(A)=256]

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