Calcule
(""|\cdot|{1},""|\cdot|{2} \mathrm{e}""|\cdot|_{F}") para cada matriz.
(""\left[ \begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]"")

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as três normas \|\cdot\|_{1}, \|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{F} da matriz abaixo. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes do enunciado que vou usar: os elementos da matriz A estão explícitos (usei-os para calcular somas de colunas, soma de quadrados e A^{T}A). O que preciso entregar são os valores de \|A\|_{1}, \|A\|_{2} e \|A\|_{F}.]

Passo 2

Definição e cálculo da norma \|A\|_{1}.
Definição: a norma induzida \|A\|_{1} é o máximo entre as somas das magnitudes das entradas em cada coluna:
\|A\|_{1}=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|.
Isto significa: para cada coluna soma-se o valor absoluto de suas entradas e toma-se o maior desses valores.
Cálculo prático (vou pegar as colunas da matriz A e somar):
a primeira coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, soma das magnitudes =|0|+|0|+|1|=1.
a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}, soma =|0|+|1|+|1|=2.
a terceira coluna é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, soma =|1|+|0|+|1|=2.
Logo,
\|A\|_{1}=\max\{1,2,2\}=2.]

Passo 3

Definição e cálculo da norma de Frobenius \|A\|_{F}.
Definição: a norma de Frobenius é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todas as entradas de A:
\|A\|_{F}=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}.
Isto é como aplicar a norma euclidiana em \mathbb{R}^{m\cdot n} ao vetor formado pelas entradas de A.
Cálculo: somo os quadrados das entradas da matriz A:
entradas são 0,0,1,0,1,0,1,1,1. Os quadrados somam
0^{2}+0^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=5.
Portanto
\|A\|_{F}=\sqrt{5}.

Passo 4

Definição e estratégia para calcular a norma espectral \|A\|_{2}.
Definição: a norma espectral \|A\|_{2} é a maior singular value de A. Uma forma prática de obtê-la é calcular as autovalores de A^{T}A (que é simétrica e semidefinida positiva) e tomar a raiz quadrada do maior autovalor:
\|A\|_{2}=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{T}A)}.
Motivação curta: os valores singulares \sigma_{i} de A satisfazem \sigma_{i}^{2} = autovalores de A^{T}A. Então basta encontrar o maior autovalor de A^{T}A.

Passo 5

Cálculo de A^{T}A (uso prático: A^{T}A pode ser obtido usando produtos internos entre colunas de A).
As colunas de A são
c_{1}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad c_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad c_{3}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Então (A^{T}A)_{ij}=c_{i}\cdot c_{j}. Calculo os produtos escalares:
c_{1}\cdot c_{1}=1,\quad c_{1}\cdot c_{2}=1,\quad c_{1}\cdot c_{3}=1,
c_{2}\cdot c_{2}=2,\quad c_{2}\cdot c_{3}=1,\quad c_{3}\cdot c_{3}=2.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 2 & 1\\[4pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Determinação dos autovalores de A^{T}A.
Preciso resolver o polinômio característico \det(A^{T}A-\lambda I)=0. Escrevo
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 & 1\\[4pt]1 & 2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=0.
Fazendo as contas do determinante (desenvolvimento ou manipulação algébrica) obtém-se o polinômio
-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-5\lambda+1=0,
ou, multiplicando por -1,
\lambda^{3}-5\lambda^{2}+5\lambda-1=0.
Verifico que \lambda=1 é raiz, porque 1-5+5-1=0. Dividindo o polinômio por (\lambda-1) obtemos o quociente
\lambda^{2}-4\lambda+1.
As raízes desse quadrático são
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}.
Portanto os autovalores de A^{T}A são
\lambda_{1}=2+\sqrt{3},\qquad \lambda_{2}=2-\sqrt{3},\qquad \lambda_{3}=1.
O maior autovalor é \lambda_{\max}=2+\sqrt{3}.]

Passo 7

Conclusão para a norma espectral \|A\|_{2}.
Como \|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{T}A)}, temos
\|A\|_{2}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.
Para ter uma noção numérica: \sqrt{2+\sqrt{3}}\approx 1,932 (apenas para intuição; o valor exato é o radical dado acima).

Resposta

\|A\|_{1}=2
\|A\|_{2}=\sqrt{2+\sqrt{3}}
\|A\|_{F}=\sqrt{5}

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