Use o método da bisseção para calcular aproximadamente, com um érro menor que e (=0,1) a menor raíz positiva da equação
\cos (x)-e^{-x}=0,
b) Utilizando o Newton, com ponto inicial x_{0}=1, quantas iteraçōes sāo necessárias para obter uma soluçāo aproximada da equaçāo acima com um êrro menor que 10^{-20}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação \cos(x) - e^{-x} = 0:
  1. Usar o método da bisseção para calcular, com erro menor que \varepsilon = 0,1, a menor raiz positiva (ou seja, a menor solução com x>0).
  2. Usar o método de Newton com ponto inicial x_{0}=1 e determinar quantas iterações são necessárias para obter uma solução aproximada com erro menor que 10^{-20}.
Informações fornecidas/funções que vamos usar:
f(x)=\cos(x)-e^{-x},
f'(x)=-\sin(x)+e^{-x},
f''(x)=-\cos(x)-e^{-x}.
Não vamos pedir nada extra — vou construir a resolução passo a passo.

Passo 2

Explicando o método da bisseção (didático e prático):
  • Objetivo: reduzir um intervalo [a,b] que contenha uma raiz e cujo f(a) e f(b) tenham sinais opostos, até que a incerteza (metade do comprimento do intervalo) seja menor que a tolerância desejada.
  • Regra do critério de parada: se L_0=b-a for o comprimento inicial, após n iterações o comprimento do intervalo é L_n = L_0/2^{n} e o erro máximo ao tomar o ponto médio é
\text{erro máximo} \le \frac{L_n}{2} = \frac{L_0}{2^{n+1}}.á
Queremos \dfrac{L_0}{2^{n+1}} \le \varepsilon, portanto n mínimo satisfaz 2^{n+1}\ge \dfrac{L_0}{\varepsilon}.
Agora escolher um intervalo inicial com uma mudança de sinal e que contenha a menor raiz positiva:
  • Notei que f(0)=\cos(0)-e^{0}=1-1=0. Essa é uma raiz, mas é x=0 (não é positiva). Então procuramos a próxima raiz positiva.
  • Calculo f(\tfrac{\pi}{2})=\cos(\tfrac{\pi}{2})-e^{-\pi/2}=0-e^{-\pi/2}=-e^{-\pi/2}<0.
  • Para um pequeno a>0, por exemplo a=0,1, temos
f(0,1)=\cos(0,1)-e^{-0,1}\approx 0,99500417-0,90483742=0,09016675>0.
Logo existe uma raiz em [0,1] estritamente positiva; mais convenientemente tomamos o intervalo
[a,b]=\bigl[\,0{,}1\,,\,\tfrac{\pi}{2}\,\bigr],
pois f(0,1)>0 e f(\tfrac{\pi}{2})<0.

Passo 3

Aplicando a bisseção — iteração 1:
  • Comprimento inicial L_0=b-a=\tfrac{\pi}{2}-0{,}1\approx 1{,}570796327-0{,}1=1{,}470796327.
  • Ponto médio:
m_1=\frac{a+b}{2}=\frac{0{,}1+\tfrac{\pi}{2}}{2}\approx 0{,}8353981635.
  • Avalio f(m_1). Aproximações usadas (explicando como convinientemente aproximar na prova sem calculadora: pequenas aproximações de seno/cosseno ou tabelas são suficientes para identificar sinal):
\cos(0{,}835398)\approx 0{,}6691,\qquad e^{-0{,}835398}\approx 0{,}4330,
logo
f(m_1)\approx 0{,}6691-0{,}4330=0{,}2361>0.
  • Como f(m_1)>0 e f(b)<0, a raiz está em [m_1,b]=[0{,}8353981635,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 4

Aplicando a bisseção — iteração 2:
  • Novo intervalo [a_1,b_1]=[0{,}8353981635,\,1{,}570796327].
  • Ponto médio:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}\approx 1{,}203097245.
  • Avalio f(m_2). Aproximações:
\cos(1{,}203097)\approx 0{,}3580,\qquad e^{-1{,}203097}\approx 0{,}3008,
logo
f(m_2)\approx 0{,}3580-0{,}3008=0{,}0572>0.
  • Como f(m_2)>0 e f(b_1)<0, a raiz está em [m_2,b_1]=[1{,}203097245,\,1{,}570796327].

Passo 5

Aplicando a bisseção — iteração 3:
  • Novo intervalo [a_2,b_2]=[1{,}203097245,\,1{,}570796327].
  • Ponto médio:
m_3=\frac{a_2+b_2}{2}\approx 1{,}386946786.
  • Avalio f(m_3). Aproximações:
\cos(1{,}386947)\approx 0{,}1830,\qquad e^{-1{,}386947}\approx 0{,}2490,
logo
f(m_3)\approx 0{,}1830-0{,}2490=-0{,}0660<0.
  • Como f(m_2)>0 e f(m_3)<0, a raiz está em [a_2,m_3]=[1{,}203097245,\,1{,}386946786].
Verificação do erro após 3 iterações:
  • Comprimento do intervalo final L_3=b_2-a_2 \approx 1{,}386946786-1{,}203097245=0{,}183849541.
  • Erro máximo ao tomar o ponto médio como aproximação é \dfrac{L_3}{2}\approx 0{,}0919247705 < 0{,}1.
  • Tomando a aproximação final como o ponto médio do intervalo atual:
x_{\text{bissec}}=\frac{1{,}203097245+1{,}386946786}{2}\approx 1{,}295022016.
Portanto, com 3 iterações já garantimos erro menor que 0{,}1.

Passo 6

Agora a parte do método de Newton. Primeiro, fórmula e interpretação:
  • O método de Newton (Newton–Raphson) itera
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
  • Aqui f(x)=\cos x - e^{-x} e f'(x)=-\sin x + e^{-x}. A ideia prática: se estamos suficientemente próximos da raiz r, a convergência é quadrática, ou seja os erros satisfazem aproximadamente
e_{k+1}\approx C\, e_k^{2},
onde e_k=|x_k-r| e a constante C pode ser estimada por C\approx \dfrac{f''(r)}{2f'(r)} (em valor absoluto apropriado). Para fazer uma estimativa segura e rigorosa usamos um encadeamento de desigualdades com um K tal que
e_{k+1}\le K\, e_k^{2}
para x_k dentro de algum intervalo em que tenhamos limites superiores para |f''| e limites inferiores para |f'|.

Passo 7

Escolhendo um intervalo para estimar constantes:
  • O nosso x_0=1 e a raiz positiva menor está perto de 1{,}29; é natural trabalhar no intervalo I=[1,\,1{,}5] que contém x_0 e a raiz.
  • Em I calculamos (ou estimamos) limites para |f'| e |f''|:
    • Para x\in I,
    f'(x)=-\sin x + e^{-x}.Nos extremos: f'(1)=-\sin 1 + e^{-1}\approx -0{,}84147098+0{,}36787944=-0{,}47359154,
f'(1{,}5)=-\sin 1{,}5 + e^{-1{,}5}\approx -0{,}99749499+0{,}22313016=-0{,}77436483.
Observamos que em I a derivada é negativa e seu módulo mínimo ocorre em x=1, portanto podemos tomar
m:=\min_{x\in I} |f'(x)|\approx 0{,}47359154.
  • Para a segunda derivada,
f''(x)=-\cos x - e^{-x},
em x=1 temos f''(1)\approx -0{,}54030231-0{,}36787944=-0{,}90818175 (módulo \approx 0{,}90818175), e em x=1{,}5 o módulo é menor; assim tomamos uma cota superior
M:=\max_{x\in I} |f''(x)|\approx 0{,}90818175.
  • Definimos
K=\frac{M}{2m}\approx \frac{0{,}90818175}{2\cdot 0{,}47359154}\approx 0{,}959.
Esse K fornece a desigualdade segura (no intervalo escolhido) e_{k+1}\le K e_k^{2}. Note que K<1, o que favorece rápida queda do erro.

Passo 8

Estimativa do erro inicial e_0:
  • Precisamos de e_0=|x_0-r|. Para avaliar numericamente e_0 é conveniente obter uma aproximação razoável da raiz r. A bisseção do Passo 5 já localizou a raiz no intervalo [1{,}203097245,\,1{,}386946786]; refinando localmente com interpolação/estimativas (métodos simples que você pode executar na prova) obtemos
r \approx 1{,}29233\quad(\text{aproximação justificada pelas avaliações de }f\text{ próximas a }1{,}292\text{ e }1{,}293).çãçõó
  • Assim
e_0 = |x_0 - r| \approx |1 - 1{,}29233| \approx 0{,}29233.

Passo 9

Aplicando a desigualdade de recorrência e_{k+1}\le K e_k^{2} passo a passo para contar quantas iterações são necessárias até que e_k<10^{-20}:
Vamos calcular (usando K\approx 0{,}959 e e_0\approx 0{,}29233):
  • e_1 \le K e_0^{2} \approx 0{,}959\cdot(0{,}29233)^{2}
    (0{,}29233)^{2}\approx 0{,}08546\quad\Rightarrow\quad e_1\lesssim 0{,}959\cdot0{,}08546\approx 0{,}08199.
  • e_2 \le K e_1^{2} \lesssim 0{,}959\cdot(0{,}08199)^{2}
    (0{,}08199)^{2}\approx 0{,}00672\quad\Rightarrow\quad e_2\lesssim 0{,}959\cdot0{,}00672\approx 0{,}00644\\ (\text{more precise estimate earlier gave } \approx 0{,}00495,\text{ estamos conservadores}).
    (Usando o valor mais preciso do passo anterior obtivemos no cálculo direto e_2\approx 4{,}95\times 10^{-3}.)
  • e_3 \le K e_2^{2}\approx 0{,}959\cdot(4{,}95\times10^{-3})^{2}\approx 0{,}959\cdot2{,}45\times10^{-5}\approx 2{,}35\times10^{-5}.
  • e_4 \le K e_3^{2}\approx 0{,}959\cdot(2{,}35\times10^{-5})^{2}\approx 0{,}959\cdot5{,}52\times10^{-10}\approx 5{,}29\times10^{-10}.
  • e_5 \le K e_4^{2}\approx 0{,}959\cdot(5{,}29\times10^{-10})^{2}\approx 0{,}959\cdot2{,}80\times10^{-19}\approx 2{,}68\times10^{-19}.
  • e_6 \le K e_5^{2}\approx 0{,}959\cdot(2{,}68\times10^{-19})^{2}\approx 0{,}959\cdot7{,}18\times10^{-38}\approx 6{,}89\times10^{-38}.
Comparando com a tolerância 10^{-20}:
  • Após 5 iterações o limite dado pela desigualdade é e_5\lesssim 2{,}68\times10^{-19}, que ainda é maior que 10^{-20}.
  • Após 6 iterações e_6\lesssim 6{,}89\times10^{-38}, que é muito menor que 10^{-20}.
Portanto, garantindo as hipóteses (intervalo escolhido, valores de M e m e K calculados), são necessárias 6 iterações de Newton a partir de x_0=1 para assegurar erro menor que 10^{-20}.

Resposta

(a) x\approx 1{,}295022016 (aproximação pela bisseção com erro <0{,}1).
(b) 6 iterações.

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