Use o método da bisseção para calcular aproximadamente, com um érro menor que e (=0,1) a menor raíz positiva da equação
b) Utilizando o Newton, com ponto inicial
, quantas iteraçōes sāo necessárias para obter uma soluçāo aproximada da equaçāo acima com um êrro menor que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação
:
- Usar o método da bisseção para calcular, com erro menor que
, a menor raiz positiva (ou seja, a menor solução com ). - Usar o método de Newton com ponto inicial
e determinar quantas iterações são necessárias para obter uma solução aproximada com erro menor que .
Informações fornecidas/funções que vamos usar:
Não vamos pedir nada extra — vou construir a resolução passo a passo.
Passo 2
Explicando o método da bisseção (didático e prático):
- Objetivo: reduzir um intervalo
que contenha uma raiz e cujo e tenham sinais opostos, até que a incerteza (metade do comprimento do intervalo) seja menor que a tolerância desejada. - Regra do critério de parada: se
for o comprimento inicial, após iterações o comprimento do intervalo é e o erro máximo ao tomar o ponto médio é
Queremos
, portanto
mínimo satisfaz
.
Agora escolher um intervalo inicial com uma mudança de sinal e que contenha a menor raiz positiva:
- Notei que
. Essa é uma raiz, mas é (não é positiva). Então procuramos a próxima raiz positiva. - Calculo
. - Para um pequeno
, por exemplo , temos
Logo existe uma raiz em
estritamente positiva; mais convenientemente tomamos o intervalo
pois
e
.
Passo 3
Aplicando a bisseção — iteração 1:
- Comprimento inicial
. - Ponto médio:
- Avalio
. Aproximações usadas (explicando como convinientemente aproximar na prova sem calculadora: pequenas aproximações de seno/cosseno ou tabelas são suficientes para identificar sinal):
logo
- Como
e , a raiz está em .
Passo 4
Aplicando a bisseção — iteração 2:
- Novo intervalo
. - Ponto médio:
- Avalio
. Aproximações:
logo
- Como
e , a raiz está em .
Passo 5
Aplicando a bisseção — iteração 3:
- Novo intervalo
. - Ponto médio:
- Avalio
. Aproximações:
logo
- Como
e , a raiz está em .
Verificação do erro após 3 iterações:
- Comprimento do intervalo final
. - Erro máximo ao tomar o ponto médio como aproximação é
. - Tomando a aproximação final como o ponto médio do intervalo atual:
Portanto, com 3 iterações já garantimos erro menor que
.
Passo 6
Agora a parte do método de Newton. Primeiro, fórmula e interpretação:
- O método de Newton (Newton–Raphson) itera
- Aqui
e . A ideia prática: se estamos suficientemente próximos da raiz , a convergência é quadrática, ou seja os erros satisfazem aproximadamente
onde
e a constante
pode ser estimada por
(em valor absoluto apropriado). Para fazer uma estimativa segura e rigorosa usamos um encadeamento de desigualdades com um
tal que
para
dentro de algum intervalo em que tenhamos limites superiores para
e limites inferiores para
.
Passo 7
Escolhendo um intervalo para estimar constantes:
- O nosso
e a raiz positiva menor está perto de ; é natural trabalhar no intervalo que contém e a raiz. - Em
calculamos (ou estimamos) limites para e : - Para
,
Nos extremos: - Para
Observamos que em
a derivada é negativa e seu módulo mínimo ocorre em
, portanto podemos tomar
- Para a segunda derivada,
em
temos
(módulo
), e em
o módulo é menor; assim tomamos uma cota superior
- Definimos
Esse
fornece a desigualdade segura (no intervalo escolhido)
. Note que
, o que favorece rápida queda do erro.
Passo 8
Estimativa do erro inicial
:
- Precisamos de
. Para avaliar numericamente é conveniente obter uma aproximação razoável da raiz . A bisseção do Passo 5 já localizou a raiz no intervalo ; refinando localmente com interpolação/estimativas (métodos simples que você pode executar na prova) obtemos
- Assim
Passo 9
Aplicando a desigualdade de recorrência
passo a passo para contar quantas iterações são necessárias até que
:
Vamos calcular (usando
e
):
-
-
(Usando o valor mais preciso do passo anterior obtivemos no cálculo direto
.) -
-
-
-
Comparando com a tolerância
:
- Após 5 iterações o limite dado pela desigualdade é
, que ainda é maior que . - Após 6 iterações
, que é muito menor que .
Portanto, garantindo as hipóteses (intervalo escolhido, valores de
e
e
calculados), são necessárias
iterações de Newton a partir de
para assegurar erro menor que
.
Resposta
(a)
(aproximação pela bisseção com erro
).
(b) iterações.
(b)