- Calcule o polinômio interpolador de Newton para
relativamente aos pontos
. Use o polinômio para estimar
e estime o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 para a função
nos pontos
Depois a gente usa esse polinômio pra estimar
e também calcula um limite pro erro que cometemos.
O que precisamos:
e também calcula um limite pro erro que cometemos.
O que precisamos:
- Entender diferenças divididas (pra achar os coeficientes do Newton).
- Montar o polinômio na forma de Newton.
- Avaliar em
. - Usar a fórmula do resto (erro) em interpolação de Newton.
Passo 2
Primeiro, calculamos as diferenças divididas. Lembra que
e as primeiras diferenças são
Vamos aos valores:
f[x₀]=f(−1)=2^{−1}=½
f[x₁]=f(0)=1
f[x₂]=f(1)=2
f[x₃]=f(2)=4
f[x₀]=f(−1)=2^{−1}=½
f[x₁]=f(0)=1
f[x₂]=f(1)=2
f[x₃]=f(2)=4
Primeiras diferenças:
Segundas diferenças:
Terceira diferença:
Passo 3
Agora montamos o polinômio de Newton:
Substituindo
e os coeficientes:
Passo 4
Bora estimar
com
.
Calculando passo a passo:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Passo 5
Vamos ver o erro usando o termo de resto da interpolação de Newton de grau 3:
para algum
entre os nós.
Aqui tem derivada de ordem 4
Aqui
No máximo em
esse valor é em
:
Então, em módulo,
Então, em módulo,
O produto dá
e
.
Então
Então
Resposta
A estimativa para
N3(0.5)=1,40625, com o polinômio de Newton é
e o erro é, no máximo, cerca de
(o erro real dá
).