1. Calcule o polinômio interpolador de Newton para f(x)=2^x relativamente aos pontos x0= -1, x1=0, x2=1, x3=2. Use o polinômio para estimar raiz2 e estime o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 para a função
f(x)=2^x
nos pontos
x0=-1,;x1=0,;x2=1,;x3=2
Depois a gente usa esse polinômio pra estimar

e também calcula um limite pro erro que cometemos.
O que precisamos:
  • Entender diferenças divididas (pra achar os coeficientes do Newton).
  • Montar o polinômio na forma de Newton.
  • Avaliar em .
  • Usar a fórmula do resto (erro) em interpolação de Newton.

Passo 2

Primeiro, calculamos as diferenças divididas. Lembra que
f[xi]=f(xi)
e as primeiras diferenças são
f[xi,xi+1]=f(xi+1)-f(xi)xi+1-xi
Vamos aos valores:
f[x₀]=f(−1)=2^{−1}=½
f[x₁]=f(0)=1
f[x₂]=f(1)=2
f[x₃]=f(2)=4
Primeiras diferenças:
f[x₀,x₁]=1-½0-(-1)=½1=½,½½½
f[x₁,x₂]=2-11-0=1,
f[x₂,x₃]=4-22-1=2
Segundas diferenças:
f[x₀,x₁,x₂]=1-½1-(-1)=½2=0,25,½½
f[x₁,x₂,x₃]=2-12-0=12=0,5
Terceira diferença:
f[x₀,x₁,x₂,x₃] =0,5-0,252-(-1) =0,253approx0,08333

Passo 3

Agora montamos o polinômio de Newton:
N3(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀) +f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁) +f[x₀,x₁,x₂,x₃](x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)
Substituindo N3(x)= 12 +12(x+1) +0,25,(x+1),x +0,08333,(x+1),x,(x-1) e os coeficientes:

Passo 4

Bora estimar N3(0.5)=0,5+0,75+0,1875-0,03125=1,40625 com .
Calculando passo a passo:
Somando tudo:

Passo 5

Vamos ver o erro usando o termo de resto da interpolação de Newton de grau 3:
R3(x)=f^(4)(xi)4!,(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃),
para algum f^(4)(x)=(ln2)^4,2^x entre os nós.
Aqui |R3(0.5)|<=(ln2)^4cdot44! l|1,5cdot0,5cdot(-0,5)cdot(-1,5)r| tem derivada de ordem 4
|R3(0.5)|<= 4,(ln2)^424times0,5625 =(ln2)^4cdot2,2524 approx0,0217
No máximo em esse valor é em :

Então, em módulo,
O produto dá e .
Então

Resposta

A estimativa para N3(0.5)=1,40625, com o polinômio de Newton é
e o erro é, no máximo, cerca de (o erro real dá ).

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