1. Suponha conhecidos os valores de f(x)=x e^x apenas nos pontos 0.0,0.2,0.4,0.6,0.8 e 1 . Deseja-se calcular f(0.5) com erro inferior a 10^-3 por meio de interpolação por alguns desses pontos.
    (a) Mostre que isso não será possível usando interpolação linear (utilizando um polinômio de grau menor ou igual a 1).
    (b) Utilize interpolação cúbica para obter f(0.5) com a precisão desejada.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estimar
f(0.5)sendo f(x)=x e^x
sabendo só os valores em . Queremos erro . O conteúdo aqui é interpolação polinomial e cotas de erro (função derivada e fórmula do resíduo). Vamos precisar da fórmula de erro da interpolação de grau 1 e de grau 3, usar derivadas de e depois montar o polinômio de Lagrange cubo pra achar o valor aproximado.

Passo 2

(a) Teste com interpolação linear (grau 1) entre os pontos mais próximos de f(x)-P1(x)=f''(xi)2!(x-x0)(x-x1), xiin[x0,x1] , ou seja, em f'(x)=e^x(1+x), f''(x)=e^x(2+x) e M2 = f''(0.6)=e^0.6(2.6)approx1.8221cdot2.6approx4.7374 .
  1. Fórmula do erro da interpolação de grau 1:
|R1(0.5)|<=M22(0.5-0.4)(0.5-0.6) =4.73742cdot(0.1)(0.1)approx0.0237
  1. Calcula . Sabendo :
  1. No intervalo , cresce e atinge máximo em :
  1. Avaliando o erro em :
Isso já passa de , logo interpolação linear não dá a precisão desejada.

Passo 3

(b) Agora usa interpolação cúbica (grau 3) em quatro pontos ao redor de x0=0.2,;x1=0.4,;x2=0.6,;x3=0.8 :
f(x)-P3(x) =f^(4)(xi)4!(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
  1. Fórmula do erro de Grau 3:
f'''(x)=e^x(3+x), f^(4)(x)=e^x(4+x)
  1. Precisa de M4=f^(4)(0.8)=e^0.8(4.8)approx2.2255cdot4.8approx10.682 . Já tínhamos (0.5-0.2)(0.5-0.4)(0.5-0.6)(0.5-0.8) =0.3cdot0.1cdot(-0.1)cdot(-0.3)=0.0009 , daí
|R3(0.5)|<=M424cdot0.0009 approx10.68224cdot0.0009approx4times10^-4<10^-3
  1. No intervalo , o máximo é em :
  1. Em , o produto dos termos é
  1. Logo a cota de erro é
Perfeito, dá a precisão que queremos.

Passo 4

Agora só falta calcular P3(0.5)=sumi=0^3 f(xi),elli(0.5), pelo polinômio de Lagrange nos pontos elli(x) =prodjneq ix-xjxi-xj :
f(0.2)=0.24428,; f(0.4)=0.59672,; f(0.6)=1.09326,; f(0.8)=1.78040
onde
ell0=-0.0625,; ell1=0.5625,; ell2=0.5625,; ell3=-0.0625
Valores de P3(0.5)approx (-0.0625),0.24428 +0.5625,0.59672 +0.5625,1.09326 -0.0625,1.78040 approx0.82407 :
Calculando cada :
Então

Resposta

Pela interpolação cúbica obtemos
f(0.5)approx0.82407,
com erro abaixo de .

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