- Suponha conhecidos os valores de 
  apenas nos pontos 
  e 1 . Deseja-se calcular 
  com erro inferior a 
  por meio de interpolação por alguns desses pontos.
(a) Mostre que isso não será possível usando interpolação linear (utilizando um polinômio de grau menor ou igual a 1).
(b) Utilize interpolação cúbica para obter 
  com a precisão desejada. 
(a) Mostre que isso não será possível usando interpolação linear (utilizando um polinômio de grau menor ou igual a 1).
(b) Utilize interpolação cúbica para obter
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente estimar
sabendo só os valores em 
 . Queremos erro 
 . O conteúdo aqui é interpolação polinomial e cotas de erro (função derivada e fórmula do resíduo). Vamos precisar da fórmula de erro da interpolação de grau 1 e de grau 3, usar derivadas de 
  e depois montar o polinômio de Lagrange cubo pra achar o valor aproximado.
Passo 2
(a) Teste com interpolação linear (grau 1) entre os pontos mais próximos de 
 , ou seja, em 
  e 
 .
- Fórmula do erro da interpolação de grau 1:
 
- Calcula 
. Sabendo :  
- No intervalo 
, cresce e atinge máximo em :  
- Avaliando o erro em 
:  
Isso já passa de 
 , logo interpolação linear não dá a precisão desejada.
Passo 3
(b) Agora usa interpolação cúbica (grau 3) em quatro pontos ao redor de 
 :
- Fórmula do erro de Grau 3:
 
- Precisa de 
. Já tínhamos , daí  
- No intervalo 
, o máximo é em :  
- Em 
, o produto dos termos é  
- Logo a cota de erro é
 
Perfeito, dá a precisão que queremos.
Passo 4
Agora só falta calcular 
  pelo polinômio de Lagrange nos pontos 
 :
onde
Valores de 
 :
Calculando cada 
 :
Então
Resposta
Pela interpolação cúbica obtemos
com erro abaixo de 
 .