- Suponha conhecidos os valores de
apenas nos pontos
e 1 . Deseja-se calcular
com erro inferior a
por meio de interpolação por alguns desses pontos.
(a) Mostre que isso não será possível usando interpolação linear (utilizando um polinômio de grau menor ou igual a 1).
(b) Utilize interpolação cúbica para obter
com a precisão desejada.
(a) Mostre que isso não será possível usando interpolação linear (utilizando um polinômio de grau menor ou igual a 1).
(b) Utilize interpolação cúbica para obter
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente estimar
sabendo só os valores em
. Queremos erro
. O conteúdo aqui é interpolação polinomial e cotas de erro (função derivada e fórmula do resíduo). Vamos precisar da fórmula de erro da interpolação de grau 1 e de grau 3, usar derivadas de
e depois montar o polinômio de Lagrange cubo pra achar o valor aproximado.
Passo 2
(a) Teste com interpolação linear (grau 1) entre os pontos mais próximos de
, ou seja, em
e
.
- Fórmula do erro da interpolação de grau 1:
- Calcula
. Sabendo :
- No intervalo
, cresce e atinge máximo em :
- Avaliando o erro em
:
Isso já passa de
, logo interpolação linear não dá a precisão desejada.
Passo 3
(b) Agora usa interpolação cúbica (grau 3) em quatro pontos ao redor de
:
- Fórmula do erro de Grau 3:
- Precisa de
. Já tínhamos , daí
- No intervalo
, o máximo é em :
- Em
, o produto dos termos é
- Logo a cota de erro é
Perfeito, dá a precisão que queremos.
Passo 4
Agora só falta calcular
pelo polinômio de Lagrange nos pontos
:
onde
Valores de
:
Calculando cada
:
Então
Resposta
Pela interpolação cúbica obtemos
com erro abaixo de
.