1. Calcule a raiz cúbica de 7, usando o método de Newton, com erro relativo inferior a 10^-5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular raiz[3]7 usando o método de Newton até que o erro relativo seja menor que 10^-5. O conteúdo aqui é o método de Newton para resolver f(x)=0, e vamos precisar da função f(x)=x^3-7 e sua derivada.

Passo 2

Apliquemos o método de Newton. Definimos
f(x)=x^3-7,
f'(x)=3x^2
A fórmula de iteração é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)=xn-xn^3-73xn^2=2xn+7/xn^23

Passo 3

Escolhemos o palpite inicial x0=2, pois 2^3=8 é próximo de 7. Agora iteramos:
Iteração 1:
x1=2cdot2+7/2^23=4+1.753=1.9166666667
Iteração 2:
x2=2cdot1.9166666667+7/(1.9166666667)^23approx1.9133464443
Iteração 3:
x3=2cdot1.9133464443+7/(1.9133464443)^23approx1.9129312070
Iteração 4:
x4=2cdot1.9129312070+7/(1.9129312070)^23approx1.9129311828

Passo 4

Calculamos o erro relativo em cada passo, por exemplo entre x3 e x4:
erro relativo= |x4-x3||x4|approx|1.9129311828-1.9129312070|1.9129311828 <10^-5
Como já atingimos o critério pedido, podemos parar.

Resposta

raiz[3]7approx1.9129311828

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