Encontre as raízes reais das funções abaixo com erro relativo inferior a
, usando o método da Iteração Linear:
Passo 1
A função é f(x)=x2+e{3x}-3 e queremos as raízes reais com erro relativo <10^{-2} usando iteração do tipo x_{n+1}=g(x_n). Vamos precisar: localizar as raízes, escolher duas formas de g(x) (uma para raiz positiva e outra para raiz negativa) e iterar até atingir o critério de erro.
Passo 2
Analisando sinais de f(x), vemos f(-2)=4+e^{-6}-3>0 e f(-1)=1+e^{-3}-3<0, então há raiz em I_1=[-2,-1]. Também f(0)=e^0-3<0 e f(1)=1+e^3-3>0, então há raiz em I_2=[0,1].
Passo 3
Para a raiz positiva em I_2, isolamos x em f(x)=0: e{3x}=3-x2 ,\Rightarrow,3x=\ln(3-x^2) ,\Rightarrow,x=g_1(x)=\frac{1}{3}\ln(3-x^2).
Verificamos contratilidade de g_1 em [0,0.5]:
Verificamos contratilidade de g_1 em [0,0.5]:
Em [0,0.5], temos |g_1’(x)|\le\frac{2\cdot0.5}{3(3-0.25)}=\frac{1}{8.25}\approx0.121<1, logo g_1 é contrátil nesse intervalo.
Passo 4
Iteramos x_{n+1}=g_1(x_n) com x_0=0.3 até |x_{n+1}-x_n|/|x_{n+1}|<10^{-2}:
x_0=0.30\quad\Rightarrow\quad x_1=\tfrac{1}{3}\ln(3-0.09)=0.3560
x_1=0.3560\quad\Rightarrow\quad x_2=\tfrac{1}{3}\ln(3-0.1267)=0.3520
x_2=0.3520\quad\Rightarrow\quad x_3=\tfrac{1}{3}\ln(3-0.1239)=0.3524
O erro relativo entre x_2 e x_3 é |0.3524-0.3520|/0.3524\approx1.1\times10{-3}<10{-2}, então paramos em x\approx0.3524.
x_0=0.30\quad\Rightarrow\quad x_1=\tfrac{1}{3}\ln(3-0.09)=0.3560
x_1=0.3560\quad\Rightarrow\quad x_2=\tfrac{1}{3}\ln(3-0.1267)=0.3520
x_2=0.3520\quad\Rightarrow\quad x_3=\tfrac{1}{3}\ln(3-0.1239)=0.3524
O erro relativo entre x_2 e x_3 é |0.3524-0.3520|/0.3524\approx1.1\times10{-3}<10{-2}, então paramos em x\approx0.3524.
Passo 5
Para a raiz negativa em I_1, isolamos x em f(x)=0:
Passo 6
O derivado é
Passo 7
Em I_1\subset(-\infty,0.366), e especialmente em [-2,-1], e^{3x}\le e^{-3}=0.05, temos |g_2’(x)|\le\frac{3\cdot0.05}{2\sqrt{2.95}}\approx0.043<1, logo é contrátil.
Iteramos x_{n+1}=g_2(x_n) com x_0=-1.5:
x_0=-1.5000\quad\Rightarrow\quad x_1=-\sqrt{3-e^{-4.5}}=-1.7289
x_1=-1.7289\quad\Rightarrow\quad x_2=-\sqrt{3-e^{-5.1866}}=-1.7307
O erro relativo |1.7307-1.7289|/1.7307\approx1.0\times10{-3}<10{-2}, então paramos em x\approx-1.7307.
Iteramos x_{n+1}=g_2(x_n) com x_0=-1.5:
x_0=-1.5000\quad\Rightarrow\quad x_1=-\sqrt{3-e^{-4.5}}=-1.7289
x_1=-1.7289\quad\Rightarrow\quad x_2=-\sqrt{3-e^{-5.1866}}=-1.7307
O erro relativo |1.7307-1.7289|/1.7307\approx1.0\times10{-3}<10{-2}, então paramos em x\approx-1.7307.
Resposta
As raízes reais são aproximadamente x\approx-1.7307 e x\approx0.3524.