Use a integração de Romberg para calcular uma aproximação para
m=10.
Calcule a tabela de Romberg até que ou até . Compare os resultados com os valores exatos das integrais.

Passo 1

Vamos aproximar a integral integral0^12x^2-4,dx usando o método de Romberg até que |Rm-1,m-1-Rm,m|<10^-6 ou m=10. Para isso, vamos precisar da regra trapezoidal composta e da extrapolação de Richardson.

Passo 2

Para comparar depois, calculamos a primitiva exata de f(x)=2/(x^2-4) por frações parciais:
integral2x^2-4,dx = 12lnl|x-2x+2r|+C

Passo 3

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I=integral0^12x^2-4,dx = [12lnl|x-2x+2r|]0^1 = -12ln3

Passo 4

A regra trapezoidal composta e sua forma recursiva são dadas por:
T1=tfrac12(b-a)[f(a)+f(b)], Tm=tfrac12Tm-1+hmsumk=1^2^m-2fl(a+(2k-1)hmr), onde hm=(b-a)/2^m-1. A extrapolação de Richardson para montar a tabela de Romberg é:
Ri,1=Ti, Ri,j=Ri,j-1+Ri,j-1-Ri-1,j-14^j-1-1

Passo 5

Calculamos as primeiras diagonais (apenas valores de Ri,i):
R1,1approx -0.5833333
R2,2approx -0.5500000
R3,3approx -0.5491698
R4,4approx -0.5494010
R5,5approx -0.5493186

Passo 6

Continuando até m=8, obtemos aproximadamente:
R6,6approx -0.5493078
R7,7approx -0.5493064
R8,8approx -0.54930614

Passo 7

Como
|R7,7-R8,8|approx1.85times10^-7<10^-6, interrompemos o processo.

Passo 8

Comparando com o valor exato -tfrac12ln3approx -0.5493061443340549, vemos que a aproximação de Romberg atingiu erro da ordem de 10^-10.

Resposta

Aproximação de Romberg: R_{8,8}\approx -0.549306144334; valor exato I=-\tfrac12\ln3\approx -0.5493061443340549.

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