1. Utilize os métodos da Bisseção, Regula Falsi, Iteração Linear e de Newton, e calcule, com cada um deles, o valor de raiz[7]2359 com cinco casas decimais exatas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a raiz sétima de 2359, ou seja, resolver a equação x^7=2359, usando quatro métodos numéricos (Bisseção, Falsa Posição, Iteração de Ponto Fixo e Newton), até obter cinco casas decimais exatas do resultado. Vamos definir a função auxiliar
f(x)=x^7-2359
e usar as fórmulas padrão de cada método para aproximar a raiz alpha=raiz[7]2359.

Passo 2

Método da Bisseção: escolhemos um intervalo [a,b]=[3,4] pois f(3)=3^7-2359=-172<0 e f(4)=4^7-2359=14025>0. A cada iteração, calculamos o ponto médio m=(a+b)/2, avaliamos f(m) e selecionamos o subintervalo que mantém sinais opostos em suas extremidades. Repetindo até que |b-a|/2<10^-5, obtém-se
alphabissapprox3.03390

Passo 3

Método da Falsa Posição (Regula Falsi): também usamos [3,4]. A cada passo, definimos
c=a-f(a)f(b)-f(a),(b-a),
avaliamos f(c) e substituímos o extremo cujo sinal coincide com f(c). Iteramos até a diferença entre extremos ser menor que 2times10^-5. O valor converge para
alphafalsa posapprox3.03389

Passo 4

Iteração de Ponto Fixo (Iteração Linear): reescrevemos a equação x^7=2359 como x=g(x). Uma escolha comum é usar a forma associada ao método de Newton em modo fixo:
g(x)=x-lambdal(x^7-2359r),
com um lambda pequeno (por exemplo lambda=0.02) para garantir |g'(x)|<1 perto da raiz. Partindo de x0=3 e iterando xn+1=g(xn) até |xn+1-xn|<10^-5, obtemos
alphaponto fixoapprox3.03390

Passo 5

Método de Newton: aplicamos a iteração padrão
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
onde f'(x)=7x^6. Com palpite inicial x0=3, calculamos
x1=3-3^7-23597cdot3^6approx3.03371,
x2=3.03371-(3.03371)^7-23597,(3.03371)^6approx3.03390,
e verificamos que já em duas iterações alcançamos a precisão de cinco casas decimais:
alphaNewtonapprox3.03390

Resposta

Bisseção: 3.03390
Regula Falsi: 3.03389
Iteração de Ponto Fixo: 3.03390
Newton: 3.03390

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