Encontre as raízes reais das funções abaixo com erro relativo inferior a 10^-2, usando o método da Iteração Linear:
f(x)=e^x+cos x-5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz real da função f(x)=e^x+cos x-5 com erro relativo inferior a 10^-2 usando o método da Iteração Linear (método do ponto fixo). Para isso, vamos reescrever a equação f(x)=0 na forma x=phi(x) e verificar as condições de convergência.

Passo 2

Da equação f(x)=0 temos e^x+cos x-5=0, logo e^x=5-cos x. Aplicando logaritmo natural, obtemos a função de iteração:
phi(x)=lnl(5-cos xr)

Passo 3

Para garantir convergência, calculamos a derivada
phi'(x)=sin x5-cos x,
No intervalo onde a raiz está (por exemplo em [1,2]), temos
|phi'(x)|<=max|sin x|5-min(cos x)<=14<1,

Passo 4

então phi é contração e o método converge. Precisamos de um chute inicial x0 no intervalo de convergência. Como f(1)<0 e f(2)>0, há raiz em [1,2]. Escolhemos x0=1.6.

Passo 5

Iteramos usando xk+1=phi(xk). Para k=0:
x1=lnl(5-cos(1.6)r)approx1.614043
Calculamos o erro relativo aproximado:
|x1-x0||x1|=|1.614043-1.6|1.614043approx0.0087<10^-2,,
portanto já atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1.614043, com erro relativo inferior a 10^{-2}.

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