(a) Determine o polinômio de
grau que satisfaz
.
(b) Utilize o resultado do item (a) para determinar a soma
.
(b) Utilize o resultado do item (a) para determinar a soma
Passo 1
O enunciado pede dois itens. No item (a), queremos um polinômio de terceiro grau
tal que
Isto é um problema de equação de diferenças finitas para polinômios. No item (b), usaremos esse
para obter a soma
Passo 2
Assumimos a forma geral
com
constantes a determinar. Então
Expandindo e computando a diferença
devemos ter
Logo igualamos coeficientes em
,
e termo constante:
Dessa forma obtemos
enquanto
fica livre (pois cancela na diferença). Logo a solução geral é
Passo 3
Para usar
na soma dos quadrados dos pares, note que da equação original temos
Somando de
a
obtemos telescopicamente
O lado esquerdo vale
, então
Para simplificar, escolhemos
em
, de modo que
e
Assim
Fatorando, chega-se a
Resposta
(a)
, com
arbitrário.
(b)
(b)