(a) Determine o polinômio de 3^{\circ} grau que satisfaz \mathrm{P}(x-1)=\mathrm{P}(x)+(2 x)^{2}.
(b) Utilize o resultado do item (a) para determinar a soma 2^{2}+4^{2}+6^{2}+\cdots+(2 n)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede dois itens. No item (a), queremos um polinômio de terceiro grau P(x) tal que
P(x-1)=P(x)+(2x)^2.
Isto é um problema de equação de diferenças finitas para polinômios. No item (b), usaremos esse P para obter a soma
2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2.

Passo 2

Assumimos a forma geral
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
com a,b,c,d constantes a determinar. Então
P(x-1)=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d.
Expandindo e computando a diferença
P(x-1)-P(x)=-3a\,x^2+(3a-2b)\,x+(-a+b-c),
devemos ter
P(x-1)-P(x)=(2x)^2=4x^2.
Logo igualamos coeficientes em x^2, x e termo constante:
-3a=4,\quad 3a-2b=0,\quad -a+b-c=0.
Dessa forma obtemos
a=-\tfrac{4}{3},\quad b=-2,\quad c=-\tfrac{2}{3},
enquanto d fica livre (pois cancela na diferença). Logo a solução geral é
\boxed{P(x)=-\tfrac{4}{3}x^3-2x^2-\tfrac{2}{3}x+d.}

Passo 3

Para usar P na soma dos quadrados dos pares, note que da equação original temos
P(k-1)-P(k)=(2k)^2,\quad k=1,2,\dots,n.
Somando de k=1 a k=n obtemos telescopicamente
\sum_{k=1}^n\bigl[P(k-1)-P(k)\bigr] =\sum_{k=1}^n(2k)^2.
O lado esquerdo vale P(0)-P(n), então
2^2+4^2+\cdots+(2n)^2=P(0)-P(n).
Para simplificar, escolhemos d=0 em P, de modo que P(0)=0 e
P(n)=-\tfrac{4}{3}n^3-2n^2-\tfrac{2}{3}n.
Assim
\sum_{k=1}^n(2k)^2=-P(n) =\tfrac{4}{3}n^3+2n^2+\tfrac{2}{3}n.
Fatorando, chega-se a
\tfrac{4}{3}n^3+2n^2+\tfrac{2}{3}n =\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}.

Resposta

(a) P(x)=-\tfrac{4}{3}x^3-2x^2-\tfrac{2}{3}x+d, com d arbitrário.
(b) \displaystyle 2^2+4^2+\cdots+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}.

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