Q4 Resolva a equação 2 x^{4}+5 x^{3}+x^{2}+5 x+2=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2x^{4}+5x^{3}+x^{2}+5x+2=0
O conteúdo aqui é o de polinômio de quarto grau cujos coeficientes formam uma sequência palindrômica. Para resolver, vamos explorar essa simetria usando a troca de variável
t = x + \frac1x,
transformando o problema numa equação de segundo grau em t.

Passo 2

Como os coeficientes são palindrômicos 2,5,1,5,2, dividimos a equação original por x^2 (supondo x\neq0) para agrupar termos simétricos:
2x^{2}+5x+1+5\frac1x+2\frac1{x^2}=0.
Agora note que
x^{2}+\frac1{x^2} = \Bigl(x+\frac1x\Bigr)^{2}-2 = t^{2}-2 \quad\text{e}\quad x+\frac1x = t.
Substituindo esses em cima, obtemos uma equação em t.

Passo 3

Substituindo as expressões em t,
2\bigl(t^{2}-2\bigr) \;+\;5\,t\;+\;1 \;=\;0
que simplifica para
2t^{2}+5t-3=0.
Resolvendo essa quadrática:
t = \frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} = \frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4} = \frac{-5\pm7}{4}.
Logo
t_{1}=\frac{-5+7}{4}=\tfrac12, \quad t_{2}=\frac{-5-7}{4}=-3.

Passo 4

Cada valor de t gera uma equação em x:
  1. Para t=\tfrac12, temos
x+\frac1x = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; x^{2}-\tfrac12\,x+1=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{2}-x+2=0.
O discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot2\cdot2 = 1-16 = -15,
então as raízes são complexas:
x = \frac{1\pm i\sqrt{15}}{4}.
  1. Para t=-3, temos
x+\frac1x = -3 \;\Longrightarrow\; x^{2}+3x+1=0.
O discriminante é
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot1 = 9-4 = 5,
então as raízes são reais:
x = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.

Resposta

As quatro raízes da equação são
x = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{1+i\sqrt{15}}{4}, \quad x = \frac{1-i\sqrt{15}}{4}.

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