Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, a gente quer calcular a integral
Isso é um exercício de integração com identidades trigonométricas. Para resolver vamos precisar:
- Saber que .
- Manipular frações trig (fazer soma/subtração de funções seno e cosseno).
- Usar divisão de polinômios (no caso, polinômios em seno e cosseno).
- Técnicas básicas de integração (substituição e integração de forma parcial).
Passo 2
Primeiro, simplifica o integrando usando :
Então nossa integral vira
Passo 3
Aquela técnica de “espetar” o numerador pra facilitar:
Logo
onde
Passo 4
Para calcular
, note essa sacada:
Então
No primeiro integral faz substituição
então
No segundo integral o quociente é
I2 =12lnl|sin x + cos xr| +12,x , então
Juntando tudo:
Resposta
Como nossa integral original vale
a solução final é