Calcule a seguinte integral:
integral 11+cotg(x) d x

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular a integral
Isso é um exercício de integração com identidades trigonométricas. Para resolver vamos precisar:
  • Saber que .
  • Manipular frações trig (fazer soma/subtração de funções seno e cosseno).
  • Usar divisão de polinômios (no caso, polinômios em seno e cosseno).
  • Técnicas básicas de integração (substituição e integração de forma parcial).

Passo 2

Primeiro, simplifica o integrando usando :
Então nossa integral vira
11 + cotg(x) =11 + cos xsin x =1sin x + cos xsin x =sin xsin x + cos x

Passo 3

Aquela técnica de “espetar” o numerador pra facilitar:
sin xsin x + cos x =1 - cos xsin x + cos x
Logo
integral sin xsin x + cos x,dx =integral 1,dx -integral cos xsin x + cos x,dx =x - I2,
onde
I2 = integral cos xsin x + cos x,dx

Passo 4

Para calcular cos x =(cos x - sin x) + (cos x + sin x)2 , note essa sacada:
I2 =integral cos xsin x + cos x,dx =12integralcos x - sin xsin x + cos x,dx +12integralcos x + sin xsin x + cos x,dx
Então
u = sin x + cos x Rightarrow du = (cos x - sin x),dx,
No primeiro integral faz substituição
integralcos x - sin xsin x + cos x,dx =integralduu =lnl|ur| =ln!l|sin x + cos xr|
então
integral cos x + sin xsin x + cos x,dx =integral 1,dx =x
No segundo integral o quociente é I2 =12lnl|sin x + cos xr| +12,x , então
Juntando tudo:

Resposta

Como nossa integral original vale
x - I2 =x - l(tfrac12,x + tfrac12ln|sin x + cos x|r) =x2 - 12lnl|sin x + cos xr| + C,
a solução final é

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