Calcule as seguintes integrais definidas: integral-pi2^pi2(8 y^2+sen y) d y

Passo 1

Beleza, então nosso desafio é calcular a integral definida
Isso é cálculo de integrais definidas. Para resolver, a gente vai precisar de:
  • Noções de função par e ímpar (pra simplificar a conta).
  • Saber integrar integral-tfracpi2^tfracpi2l(8,y^2+sen yr),dy e .
  • Entender a propriedade de linearidade da integral (ou seja, integral de soma = soma de integrais).

Passo 2

Primeiro, uso a linearidade pra separar em duas integrais:
Agora deixo cada uma isolada.

Passo 3

Vamos ver o caráter par ou ímpar de cada função:
  • f(y)=8y^2 é função par, porque f(-y)=8(-y)^2=8y^2=f(y).
  • é função ímpar, pois .
Propriedades importantes:
  • Integral de função par em g(y)=sen y vale sen(-y)=-sen y.
  • Integral de função ímpar em [-a,a] vale 2integral0^a f(y),dy.
Logo:
[-a,a]

Passo 4

Foco na integral do polinômio:
2integral0^tfracpi28y^2,dy =16integral0^tfracpi2y^2,dy
Agora aplico: integral y^2,dy = y^33.
Então
16l[y^33r]0^tfracpi2 =16cdot13l(pi2r)^3 = 163cdotpi^38 = 16,pi^324 = 2,pi^33

Passo 5

A parte do já vimos que dá zero por ser ímpar.

Resposta

boxed2pi^33

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