Calcule os seguintes limites:
lim z 0 raizz-1-iz

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular
limzto 0 raizz-1-iz
É um problema de limite envolvendo números complexos e a função raiz quadrada. Para resolver, a gente vai usar dois conceitos básicos:
  1. o ramo principal da raiz (onde );
  2. como tratar um limite do tipo , usando derivada ou racionalização.

Passo 2

Primeiro, vê se não é um caso limzto0f(z)-f(0)z : quando ,
, então o numerador e o denominador .
Então é .
Teoria rápida: se você tem
e é diferenciável em , esse limite vale .
Aqui dá para reescrever , pois . Então a nossa expressão é exatamente
.

Passo 3

A gente calcula f'(z)=12,(z-1)^-1/2cdot1 =12,raizz-1 usando a regra da derivada da raiz:
se limzto0raizz-1-iz = f'(0) =12,raiz0-1 =12,raiz-1 , então
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Passo 4

Agora 12,raiz-1 =12,i =12i no ramo principal, então
12i = -i2
E para simplificar , então

Resposta

boxed-i2

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