Calcule a solução dos sistemas de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c}x+3 y=11 \\\\ 1,5 x+4,501 y=16,503\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas equações e duas incógnitas e pede a solução (x,y)\): \[\begin{cases} x+3y=11,\\[4pt] 1,5x+4,501y=16,503. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes e termos independentes são 1\], \(3, 11 na primeira equação e 1,5, 4,501, 16,503 na segunda.
  • O objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve aula: método de eliminação (o que vamos usar)
  • A ideia é transformar as equações de modo a “eliminar” uma incógnita somando/subtraindo equações.
  • Operações permitidas sem alterar o conjunto solução:
    1. Multiplicar uma equação por um número não nulo.
    2. Somar a uma equação um múltiplo da outra.
  • Vou escolher eliminar x porque é simples: igualo os coeficientes de x nas duas equações e subtraio para eliminar x.
  • Por que igualar? Se eu tiver duas equações com o mesmo coeficiente de x, subtraindo-as o termo com x some, sobrando só uma equação em y.

Passo 3

Igualando os coeficientes de x: multiplicar a primeira equação por 1,5 (para que o coeficiente de x fique 1,5, igual ao da segunda).
Multiplicando:
1,5\cdot(x+3y)=1,5\cdot 11
o que dá a equação escalada
1,5x+4,5y=16,5.

Passo 4

Agora subtrair a segunda equação da equação escalada (equação escalada menos a segunda). Isso elimina x:
(1,5x+4,5y)-(1,5x+4,501y)=16,5-16,503.
Calcule cada parte:
1,5x-1,5x=0,\qquad 4,5y-4,501y=-0,001y,
16,5-16,503=-0,003.
Portanto obtemos a equação em y:
-0,001y=-0,003.

Passo 5

Resolver para y: dividir ambos os lados por -0,001 (número não nulo):
y=\frac{-0,003}{-0,001}.
Explicando a divisão com decimais: ambos numerador e denominador têm sinal negativo, que se cancelam; também -0,003 é 3 vezes -0,001, logo a razão é 3. Portanto
y=3.

Passo 6

Agora voltar a uma das equações originais para encontrar x. Usar a primeira, que é simples:
x+3y=11.
Substituindo y=3:
x+3\cdot 3=11.
Calcule:
x+9=11 \quad\Rightarrow\quad x=11-9=2.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituir (x,y)=(2,3) na segunda equação:
1,5\cdot 2 + 4,501\cdot 3 = 3 + 13,503 = 16,503,
que coincide com o termo independente da segunda equação. Logo a solução encontrada satisfaz ambas as equações.

Resposta

x=2
y=3

Exercícios relacionados