Calcule usando a Regra dos Trapézios com 6 pontos e um limitante superior para o erro.

Passo 1

O exercício pede pra aproximar a integral integral0^1 (7.8x^2 + sin x + 5.9),dx usando a regra dos trapézios com 6 pontos (isto é, n=5 subintervalos) e também estimar um limitante superior para o erro. O conteúdo principal aqui é a fórmula da regra dos trapézios e o limite de erro baseado em f''(x).

Passo 2

Como temos a=0, b=1 e n=5, o passo é
h = b-an = 1-05 = 0.2

Passo 3

Definimos os nós xi = 0 + i,h, ou seja
x0=0, x1=0.2, x2=0.4, x3=0.6, x4=0.8, x5=1

Passo 4

Agora avaliamos f(x)=7.8x^2+sin x+5.9 nesses pontos:
f(0)=5.9, f(0.2)approx6.4107, f(0.4)approx7.5374, f(0.6)approx9.2730, f(0.8)approx11.6094, f(1)approx14.5415

Passo 5

Aplicamos a regra dos trapézios:
integral0^1 f(x),dx approx h2l(f(x0)+2sumi=1^4f(xi)+f(x5)r)
Substituindo os valores:
0.22l(5.9 + 2(6.4107+7.5374+9.2730+11.6094) +14.5415r) approx 9.01025

Passo 6

Para estimar o erro, derivamos duas vezes:
f'(x)=15.6x+cos x, f''(x)=15.6-sin x

Passo 7

Como sin x varia entre 0 e sin1approx0.84, o máximo de |f''(x)| em [0,1] é 15.6.
O limitante de erro da regra dos trapézios é
|ET|<= (b-a)^312,n^2max[0,1]|f''(x)| = 1^312cdot5^2cdot15.6 = 15.6300 = 0.052

Resposta

Aproximamos a integral por 9.0103 e o erro fica limitado por 0.052.

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