Seja f(x) tabelada como segue:
c|ccccccc $x$ & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline$f(x)$ & 3.1 & 0.81 & 0.62 & 0.82 & 1.91 & 1.99 & 3.92 -1 0 1 2 3 4 5
integral-1^5 f(x) d x 3.1 0.81 0.62 0.82 1.91 1.99 3.92
Calcule 1 / 3 usando a Regra dos Trapézios, 3 / 8 de Simpson e de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar integral-1^5 f(x),dx usando a Regra dos Trapézios composta, a Regra de 1/3 de Simpson composta e a Regra de 3/8 de Simpson composta. Temos pontos igualmente espaçados com passo h=1 e os valores de f(x) na tabela.

Passo 2

Para a Regra dos Trapézios composta, com n=6 subintervalos de passo h=1, usamos:
integral-1^5 f(x),dx approx h2l(f(x0) + 2sumi=1^5 f(xi) + f(x6)r)
Da tabela, f(x0)=3.1, sumi=1^5 f(xi)=0.81+0.62+0.82+1.91+1.99=6.15 e f(x6)=3.92. Logo:
12(3.1 + 2cdot6.15 + 3.92) = 9.66

Passo 3

Para a Regra de 1/3 de Simpson composta, com n=6 e h=1, aplicamos:
integral-1^5 f(x),dx approx h3l(f(x0) + 4sumsubstacki=1 i ímpar^5 f(xi) + 2sumsubstacki=2 i par^4 f(xi) + f(x6)r) í
Temos sumímpares=f(x1)+f(x3)+f(x5)=0.81+0.82+1.99=3.62í e sumpares=f(x2)+f(x4)=0.62+1.91=2.53. Então:
13(3.1 + 4cdot3.62 + 2cdot2.53 + 3.92) = 8.8533

Passo 4

Para a Regra de 3/8 de Simpson composta, com n=6 (múltiplo de 3) e h=1, usamos:
integral-1^5 f(x),dx approx 3h8l(f(x0) + f(x6) + 3sumsubstacki=1 i!!!mod3neq0^5 f(xi) + 2sumsubstacki=3 i!!!mod3=0^3 f(xi)r)
Os índices com coeficiente 3 são i=1,2,4,5, cuja soma é 0.81+0.62+1.91+1.99=5.33, e o índice com coeficiente 2 é i=3, com f(x3)=0.82. Logo:
38(3.1 + 3.92 + 3cdot5.33 + 2cdot0.82) = 9.24375

Resposta

Regra dos Trapézios composta: 9.66; Regra de 1/3 de Simpson composta: 8.8533; Regra de 3/8 de Simpson composta: 9.2438.

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