Calcule um valor aproximado para cada integral usando, regra de Riemann, regra dos trapézio e regra de Simpson, todas com 2 subintervalos.
\int_{1}^{3} \frac{1+x}{\sqrt{x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede aproximações para
\int_{1}^{3}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx
usando três métodos de quadratura numérica com 2 subintervalos: regra de Riemann (retângulos à esquerda), regra dos trapézios e regra de Simpson. O conteúdo é integração numérica, e precisaremos calcular o tamanho do passo h, avaliar a função
f(x)=\frac{1+x}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}+x^{\frac12}
nos nós e aplicar as fórmulas de cada método.

Passo 2

O intervalo é [1,3] com n=2 subintervalos, logo
h=\frac{3-1}{2}=1.
Os nós são
x_0=1,\quad x_1=2,\quad x_2=3.
Calculamos
f(x_0)=f(1)=1^{-1/2}+1^{1/2}=1+1=2,
f(x_1)=f(2)=2^{-1/2}+2^{1/2}=\frac1{\sqrt{2}}+\sqrt{2} =\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt2=\frac{3\sqrt2}{2}\approx2,1213,
f(x_2)=f(3)=3^{-1/2}+3^{1/2}=\frac1{\sqrt{3}}+\sqrt{3} \approx0,5774+1,7321=2,3095.

Passo 3

Regra de Riemann (retângulos à esquerda):
R_{\text{esq}} =\sum_{i=0}^{1}f(x_i)\,h =\bigl[f(x_0)+f(x_1)\bigr]\;h =(2+2,1213)\cdot1 =4,1213.

Passo 4

Regra dos trapézios:
T =\frac{h}{2}\Bigl[f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\Bigr] =\frac{1}{2}\bigl[2+2\cdot2,1213+2,3095\bigr] =\frac{1}{2}\,(8,5521) =4,2760.

Passo 5

Regra de Simpson:
S =\frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\Bigr] =\frac{1}{3}\bigl[2+4\cdot2,1213+2,3095\bigr] =\frac{1}{3}\,(12,7947) =4,2649.

Resposta

Regra de Riemann (esquerda): 4,1213
Regra dos trapézios: 4,2760
Regra de Simpson: 4,2649

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