। Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de temperatura em que o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a temperatura do forno a todo instante, ela é medida em intervalos periódicos de tempo e esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi “queimada” a fim de se conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os seguintes dados foram coletados:
Horário 7: 00 10: 00 13: 00 16: 00 19: 00 21: 00
Temperatura \left(10^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 2.32 2.51 2.63 2.55 2.41 2.28
A) CONSTRUA A TABELA DE DIFERENÇAS FINITAS SIMPLES PARA ESSES PONTOS.
B) ESTIME A TEMPERATURA DO FORNO ÀS 14:30 COM A FÓRMULA DE NEWTON GREGORY

Passo 1

O enunciado nos dá medições da temperatura do forno (em 10^2\,{}^\circ\mathrm C) nos instantes
x_0=7\!\colon00,\;x_1=10\!\colon00,\;x_2=13\!\colon00,\;x_3=16\!\colon00,\;x_4=19\!\colon00,\;x_5=21\!\colon00
com valores
f_0=2,32,\;f_1=2,51,\;f_2=2,63,\;f_3=2,55,\;f_4=2,41,\;f_5=2,28.
Como a maior parte dos intervalos é de 3 h, usaremos a diferença de 3 h como passo h e vamos construir a tabela de diferenças finitas simples para usar a fórmula de Newton–Gregory (para nós o índice k avança de hora em hora de passo 3 h).

Passo 2

Tabela de diferenças finitas (índice k e \Delta aplicado nas colunas):
k x_k (h) f_k \Delta f_k \Delta^2 f_k \Delta^3 f_k \Delta^4 f_k \Delta^5 f_k
0 7 2,32 0,19 –0,07 –0,13 0,27 –0,34
1 10 2,51 0,12 –0,20 0,14 –0,07
2 13 2,63 –0,08 –0,06 0,07
3 16 2,55 –0,14 0,01
4 19 2,41 –0,13
5 21 2,28
Aqui cada \Delta é a diferença da coluna anterior na linha de mesma k.

Passo 3

A fórmula de Newton–Gregory forward para nós é, em termos de u=(x-7)/3:
P(u)=f_0 + u\,\Delta f_0 + \frac{u(u-1)}{2!}\,\Delta^2f_0 + \frac{u(u-1)(u-2)}{3!}\,\Delta^3f_0 + \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{4!}\,\Delta^4f_0 + \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)}{5!}\,\Delta^5f_0.

Passo 4

Queremos x=14\!:\!30, ou seja 14{,}5 h.
Calculamos
u=\frac{14{,}5-7}{3}=\frac{7{,}5}{3}=2{,}5.
Agora cada termo:
\begin{aligned} f_0&=2{,}32,\\\ u\,\Delta f_0&=2{,}5\cdot0{,}19=0{,}475,\\\ \frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2f_0 &=\frac{2{,}5\cdot1{,}5}{2}\,(-0{,}07)=-0{,}13125,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3f_0 &=\frac{2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5}{6}\,(-0{,}13)=-0{,}040625,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{24}\,\Delta^4f_0 &=\frac{2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5)}{24}\,(0{,}27) =-0{,}010546875,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)(u-4)}{120}\,\Delta^5f_0 &=\frac{2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5\cdot(-0{,}5)\cdot(-1{,}5)}{120}\,(-0{,}34) =-0{,}003984375. \end{aligned}
Somando tudo:
P(2{,}5) =2{,}32+0{,}475-0{,}13125-0{,}040625-0{,}0105469-0{,}0039844 \approx2{,}6086.

Resposta

A temperatura estimada às 14:30 é aproximadamente
T(14\!:\!30)\approx2{,}61\times10^2\,{}^\circ\mathrm C.

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